Cartas mezcladas

¿De cuántas formas se puede mezclar un mazo de cartas?

 

No sé cuántas veces en su vida se detuvo a pensar de cuántas formas se puede mezclar un mazo de cartas ‘francesas’ o cartas de póker. La única diferencia con las cartas con las que jugamos al ‘truco’ es que las francesas son 52 y las españolas son 40. Claramente entonces, tener 52 naipes ofrece más posibilidades, pero a los efectos de lo que quiero comunicar acá, la diferencia terminará siendo irrelevante

Empiezo así. Voy a escribir la respuesta. El número que sigue acá abajo (que requiere más de un renglón para que lo pueda desarrollar todo), es el siguiente:

80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000

Sigo con algunas observaciones.

1) En total son 68 dígitos;

2) Ahora una afirmación que quizás le parezca atrevida: “Es muy poco probable que en la historia de la humanidad se hubieran jugado dos partidos de cartas con el mismo orden en las 52 cartas”. ¿Se da cuenta de lo tremendo que dice esa frase? Si quienes participaron del juego, mezclaron correctamente (o sea, si mezclaron las cartas verdaderamente al azar), es virtualmente imposible que en la historia de la humanidad haya habido dos partidas de naipes en donde las cartas hubieran estado igualmente distribuidas… ¡en todo el mundo, en toda la historia de la humanidad! ¿No le parece increíble?

3) Desde este punto, el que voy a escribir ahora ya no debería ser tan temerario: “Es muy poco probable que mientras los humanos estemos vivos se juegue con dos mazos iguales (siempre y cuando, como escribí más arriba, uno haya mezclado las cartas como corresponde);

4) Ahora tome un cronómetro para usarlo como un TIMER, como cuando uno quiere cocinar algo, y se pone una suerte de alarma para que le avise cuándo debería sacar la comida del horno o de la hornalla. En ese timer ponga el número de 68 dígitos (suponiendo que su timer sea parecido a los que usa la NASA), pero ahora vamos a pensar que uno tiene a su disposición ese número, pero ¡en segundos! Es decir, cada vez que se consumen 60 de esos segundos, uno necesitó esperar un minuto. Y así siguiendo.

80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000

Ahora piense este número, pero como si estuviera indicando segundos.

Cuando yo le diga, apriete el botón y empezamos el experimento

  1. Elija un punto cualquiera en la línea del ecuador;
  2. La circunferencia de la Tierra son aproximadamente 40.000 kilómetros;
  3. Usted tiene que caminar en forma MUY LENTA: un PASO (digamos de un metro) cada MIL MILLONES DE AÑOS;
  4. Cuando haya terminado y volvió al mismo lugar, TOME UNA GOTA DEL OCÉANO PACÍFICO y sáquela;
  5. Y retoma para dar OTRA VUELTA alrededor de la Tierra dando un paso cada mil millones de años… y cada vez que termina, saca otra gota del mismo océano (el Pacífico);
  6. El cronómetro SIGUE RETROCEDIENDO tratando de LLEGAR a CERO;
  7. Cuando NO HAYA MÁS AGUA en EL OCÉANO, tome una HOJA de PAPEL CUALQUIERA y APÓYELA donde está parado;
  8. Ahora llene nuevamente el océano que había vaciado. (No quiero preguntarle dónde estuvo guardando el agua mientras tanto… pero sigamos.)
  9. Vuelva a hacer lo que hizo antes dando pasos cada mil millones de años y cada vez que completa una vuelta alrededor de la Tierra, saca una gota del océano… hasta vaciarlo otra vez;
  10. Cuando lo vació, ponga una segunda hoja arriba de la que había puesto antes …¡y empiece el proceso nuevamente! Por supuesto, después de haber llenado convenientemente el mismo océano;
  11. Cuando la pila de papeles ESTÉ POR LLEGAR AL SOL (le recuerdo que la distancia entre la Tierra y el Sol es de 149.597.870.691 kilómetros, casi 150.000 millones de kilómetros), fíjese lo que sucedió con los primeros 3 numeritos de los 68 que había al principio. Verá que están TODAVÍA INMUTABLES… o sea, todavía están el 8, 0 y 6;
  12. Se modificaron los 65 últimos, pero NO los tres primeros;
  13. Cuando la columna de PAPELES LLEGUE AL SOL, desármela y guarde los papeles porque los va a necesitar de nuevo;
  14. Vaya de nuevo hasta la línea del ecuador y empiece de nuevo con el proceso. Lo tiene que hacer MIL VECES MÁS;
  15. Después de completar estas MIL VECES, usted mirará el timer y advertirá CON HORROR… ¡que RECIÉN RECORRIÓ UNA TERCERA PARTE de lo que indicaba al principio!!!
  16. Es decir, tiene que repetir lo mismo DOS VECES MAS…

Acá voy a parar. Como se da cuenta, no es tan difícil concluir que es casi seguro que nunca nadie haya jugado en ninguna parte del mundo en la historia de la humanidad con dos mazos iguales, y no solo eso, sino que lo que es también ‘casi’ seguro, es que mientras vivamos los humanos en la Tierra (siempre y cuando no nos matemos entre todos antes), ¡nunca nadie jugará una partida con 52 cartas mezcladas u ordenadas de la misma manera!

Ahora bien: ¿cómo se calcula ese número? ¿De dónde apareció? Sígame porque vale la pena.

En todo caso, como habrá advertido, el número de posibles órdenes es un número imponente, enorme y que ESCAPA totalmente a nuestra capacidad de comprensión. Estoy seguro de que ahora, todo lo que leyó hasta acá ya no le parece tan exagerado, ¿no es así?

Lo extraordinario es que estos números crecen en forma muy rápida. Si hubiera nada más que dos cartas (A y B), habría nada más que dos formas de ordenarlas: AB y BA.

Si hubiera tres (A, B y C), ya hay seis formas posibles: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA (fíjese que el resultado 6, se obtiene multiplicando 3 x 2 x 1). Es que para la primera carta hay tres posibilidades, y para cada elección de la primera hay dos posibles para la segunda y una vez elegidas las dos primeras queda una sola “libre”. Este número se expresa como el factorial de 3, y la notación que se usa es:

3! = 3 x 2 x 1.

Por favor: no se asuste con el nombre si nunca escuchó hablar del factorial de un número. Es simplemente ¡un nombre!

Si tuviéramos cuatro cartas, hay 4 (factorial de 4) formas de ordenarlas, y

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Con cinco cartas, (factorial de 5)

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Con seis, se tiene 6! = 720.

Dos cosas más:

a) Si hubiera diez cartas (haga la cuenta usted), las formas de ordenarlas ya superarían las 3.600.000 (sí, más de 3 millones seiscientos mil) ya que:

10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.800.

b) Ahora que puedo hablar con usted del factorial de un número, como en el problema original uno tiene 52 naipes, el número que cuenta todos los posibles órdenes, se calcula con el factorial de 52, o sea, como 52! que es justamente el número de 68 dígitos que escribí más arriba.

Por último, piense cuántos libros tiene en su biblioteca (o en una biblioteca cualquiera). ¿Son más de diez? Si tuviera 10 nada más, y usted quisiera ordenarlos todos los días de una forma diferente, tendría que esperar 3.628.000 días hasta que esté forzado a repetir un orden anterior, y como usted advierte eso significan casi ¡diez mil años! Le deseo suerte…

 

Notas:

(1) Por supuesto, esto es impracticable porque no hay cronómetros accesibles a nosotros, al público, que tengan tamaña cantidad de dígitos, pero supongamos que uno pudiera hacerlo.

(2) La estimación más aceptada hoy es que la Tierra tiene una circunferencia alrededor de la línea que separa los hemisferios norte y sur de 40.075.017 metros.

(3) La distancia de la Tierra al Sol se calcula en 149.597.870.691 kilómetros.

(4) El artículo del que extraje el ejemplo de las vueltas al ecuador, el océano Pacífico y la montaña de papeles que intenta llegar al sol, fue escrito por Scott Czepiel y se puede encontrar acá: http://czep.net/weblog/52cards.html.

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