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Cien personas, cien sombreros

Adrián Paenza

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Un problema, muchas respuestas posibles. ¿Cuál es la suya?

 

En general, en los veranos uno tiene más tiempo libre… o debería tenerlo. Y justamente esos son los momentos en los cuales tener un problema para pensar suele ser bienvenido. El que sigue requiere de elaborar una ‘estrategia’ para resolverlo. En principio parecerá que el problema NO tiene solución. Sin embargo, si uno le dedica tiempo y sobre todo si se tiene paciencia y no se sucumbe a la tentación de ir a leer la respuesta, es muy probable que la encuentre. Y en todo caso, como me interesa resaltar una y otra vez: ¿Qué gracia tendría leer la respuesta de entrada? Sería equivalente a sentarse a pensar en un crucigrama y leer la solución que figura al lado. ¿No se trata de tener un ‘pasatiempo’? En este caso la idea ‘excede’ al entretenimiento habitual, porque si uno se entrena en elaborar estrategias, estas sirven después en la vida cotidiana, aunque uno no advierta específicamente dónde la usa. Acá va el problema:

Se tienen 100 (cien) personas en una habitacion, con sombreros blancos y negros. Todos pueden ver lo que tienen todos los otros, SALVO el sombrero que tienen ellos mismos.

Pueden planificar una estrategia PREVIA, pero NO pueden comunicarse entre si una vez que están adentro.

Cuando una persona equis dé la orden, TODOS deberán decir al mismo tiempo qué color de sombrero tienen puesto. Los que acierten, sobrevivirán. Los que erren, morirán. (Por supuesto, en sentido figurado. Lo escribo por las dudas…)

¿Pueden encontrar una estrategia que GARANTICE [1] que al menos 50 de las personas van a sobrevivir? [2]

Ejemplo de estrategia equivocada: si hubiera 50 personas con sombreros blancos y 50 con sombreros negros, y se pusieran de acuerdo en decir que el color que cada uno tiene es el que ve que tiene la mayoría, entonces… MORIRÍAN TODOS. ¿Por qué? Supongamos que fuera yo el que tengo que elegir. Si yo tengo color blanco, por elegir un color, es porque de los 99 que quedan, hay 50 negros y 49 blancos (ya que yo tengo uno de los blancos). Luego lo que yo vería sería una mayoría negra, y por lo tanto, diría que yo tengo NEGRO. Eso implicaría que soy ‘hombre muerto’. Pero lo mismo les pasaría a todos los que están conmigo, porque el mismo razonamiento estarían haciendo todos.

Ahora sí le toca a usted.

 

RESPUESTA

Una manera de garantizar que se salven la mitad de las personas sería acordar de antemano dividirse en parejas. Es decir, se conformarían 50 parejas (ya que hay 100 personas en total).

Pero algo más: los integrantes de cada pareja tendrían un rol asignado: uno M (masculino) y el otro F (femenino)

Entonces, esta es la estrategia que yo le propongo que piense:

En cada pareja hay entonces una M y una F.

Cuando M tiene que decir qué color tiene, elige el color que ve en el sombrero que usa F.

Por su parte, cuando F tiene que decir qué color tiene, elige el color contrario del sombrero que le ve a M. O sea, si M tiene negro, F dice blanco. Y si M tuviera blanco, entonces F diría Negro.

Le sugiero que verifique qué sucede con esa estrategia. Analice lo que pasaría con las 100 personas. Vale la pena que se entretenga usted sola/solo, ahora que conoce un posible plan para solucionar el problema.

Sigo yo: fíjese lo que pasa en cada pareja.

  1. a) Si los dos (M y F) tienen el mismo color, entonces, se salva M (porque elige lo que tiene F y él tiene lo mismo), pero F muere, porque elige lo contrario de M… y F tiene LO MISMO que M en este caso. Por lo tanto, SOBREVIVE M, que es el 50% de la pareja;
  2. b) Si los dos tienen distinto color, entonces M muere, porque dice lo que tiene F, mientras que F sobrevive, porque F tiene lo contrario de M y justamente F elige ese color.

Esta estrategia GARANTIZA que se salva EXACTAMENTE la mitad de la gente. [3]

 

 

[1] GARANTICE, en este caso, significa que el método que usted proponga permita ASEGURAR que AL MENOS 50 (cincuenta) de las personas van a sobrevivir y que no dependa del azar.

[2] El problema se puede plantear como que uno tiene un número PAR de personas (digamos n) y todos tienen o bien sombreros blancos o negros, y se trata de diseñar una estrategia que GARANTICE que la mitad se salva. La idea es generalizar la estrategia que se usa para 100 personas, para cualquier número par.

[3] Si uno tuviera que resolver el problema en el caso más sencillo, en el cual solamente hay dos personas y que garantizar que se salva por lo menos una, la estrategia propuesta más arriba permite afirmar que SIEMPRE se salva o bien F o bien M (pero no los dos). En el caso de que hubiera un número PAR cualquiera, el mismo plan ‘salva’ a la mitad de la población.

 

Adrián Paenza es matemático, docente y periodista

2 Comentarios

2 Comments

  1. Diego Hernán Verón

    13 febrero, 2018 en 6:53 pm

    Creo que la respuesta tiene un error. Sí M dice un color y F dice otro DESPUÉS, no se cumple la consigna de que TODOS deben decir su color AL MISMO TIEMPO.
    También me asalta una duda. Sí de antemano se ponen de acuerdo en hacer una señal que indique el color de sombrero que ven, ¿sería hacer trampa?. Por ejemplo, se paran de a pares y si ven un sombrero negro ponen la mano derecha en el bolsillo o si ven blanco la izquierda. Con esto “delatan” el color que ven y se salvan todos. Pero tal vez no cumpla la consigna.

  2. Daniel Horacio Rodriguez

    12 febrero, 2018 en 1:00 pm

    Seguramente no entendi el planteo. Mi razonamiento es: si ANTES de entrar convienen tomarse de las manos formando un circulo y cada uno de los integrantes aprieta la mano derecha de quien tiene a su izquierda cuando ve que este tiene un sombrero blanco y en cambio permanece sin hacer nada en caso que el sombrero fuese negro creo que podrían salvarse todos. ¿Ese apretón de manos sería comunicación?

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