¿Cómo embarcar rápido en un avión?

De cómo las matemáticas ayudan a mejorar nuestras vidas

 

En marzo del año 2008, escribí una nota [1] donde pretendía ilustrar qué es lo que hacía en ese momento el mundo de la ciencia para tratar de resolver un problema que tenían/tienen las compañías aéreas por un lado y nosotros, los pasajeros, por el otro. Si usted ha tenido alguna vez el privilegio [2] de viajar en avión, habrá ‘sufrido’ el problema del embarque, cuando lo ubicaron en algún grupo predeterminado de acuerdo con el tipo de billete que compró y mientras tanto, esperó pacientemente que ‘le tocase el turno’. Uno tiene que lidiar con la “desesperación” (ajena, pero propia también) por llegar al lugar asignado lo más rápido posible, no sólo por el asiento mismo (que está reservado), sino por la necesidad de poder poner el equipaje de mano, abrigos, carritos, mochilas, colchones de dos plazas… (Una broma, pero usted me entiende y quizás lo ha vivido alguna vez.) Pero la lista podría continuar en forma ‘casi’ ilimitada.

Históricamente, esas mismas compañías aéreas quieren tener los aviones ‘en el aire’: ese es el momento en el que les reportan beneficio. Cuando un avión está ‘parado’, la compañía pierde dinero, o si usted prefiere, pierde de ganarlo. Dicho todo esto, esa nota tiene ya 12 años y sin embargo los problemas siguen siendo los mismos.

Sobre fines del año 2019, más precisamente el 27 de diciembre, apareció un artículo [3] de la American Physical Society, o sea, la Sociedad de Física Norteamericana, que proponía una nueva hipótesis. Los intentos de permitir que subieran al avión primero las personas que tenían asientos en las últimas filas, o bien aquellos que viajaran sin equipaje de mano, abortaron rápidamente porque son difíciles de implementar.

Por un lado, permitir que primero entren los que van sentados ‘atrás’, requiere que todos los pasajeros que viajan en primera o en clase ‘ejecutiva’, tengan que esperar. Y como usted bien sabe (y yo también), ¡el que paga más no quiere esperar! Por otro lado, para permitir que ingresen primero los que no tienen ningún equipaje de ‘mano’, requeriría hacer una suerte de ‘pesquisa’ previa. Es decir: cualquier intento de este tipo implicaría tener un tipo de disciplina para ingresar a un avión, que es —obviamente— no esperable de quienes hacen un solo vuelo. Si fuera un episodio rutinario, en donde son siempre los mismos pasajeros, uno podría entrenarlos. Pero no es el caso. Esas ideas no funcionaron.

 

 

 

Si usted se fija en la nota de 12 años atrás, verá que Jason Steffen [4] propone separar los pasajeros en diferentes grupos de acuerdo con la ubicación que tendrán dentro del avión y hacerlos entrar en forma de olas. Fíjese en la Figura 1 y verá el gráfico que presentó el propio Steffen [5]. Si usted sigue la numeración, verá que el orden que propone implica sentar primero a un pasajero que está en la última fila al lado de la ventanilla (el que lleva el número 1), y después empezar a saltearse una fila por vez (mire donde van ubicados el 2, 3, 4… y así sucesivamente, hasta cubrir todas las ‘ventanillas’, que de acuerdo con este cuadro, son en total 24 lugares

El primer pasajero/a que va en un asiento del ‘medio’, es el que lleva el número 25, y está ubicado en la última fila, igual que el 1. Siga el mismo patrón de antes y podrá inferir dónde encontrar los números 26, 27, 28, etc. De esa forma, terminará llenando todos los casilleros.

Si me siguió hasta acá es seguro que debe estar preguntando a qué ‘olas’ me refería. Y tiene razón. Cada ‘ola’ es un grupo de pasajeros. En este caso, en total, son seis olas de 12 pasajeros cada una. La primera es la que tiene a los pasajeros del 1 al 12 (ubicados tal como se ve en la Figura 1). La segunda es la que contiene a los pasajeros 13 al 24. La tercera está integrada por los pasajeros que llevan el número 25 al 36, la cuarta del 37 al 48, la quinta del 49 al 60 y la última es la que involucra a los 12 pasajeros que quedan: los que van del 61 al 72.

Las pruebas demostraron que la velocidad promedio de embarque usando este método requería de la mitad del tiempo que necesitan las compañías aéreas con los abordajes tradicionales. Steffen logró demostrar que su método minimiza el tiempo de todos los otros convencionales conocidos y convenció a los gerentes de que si lo usaban, minimizarían también los ‘choques entre personas que están tratando de sentarse’ e incluso las obstrucciones que se generan cuando cada uno quiere ubicar su equipaje.

 

 

Pero eso sucedió hace 12 años, y como queda claro el problema persiste. ¿Por qué? Como escribí más arriba, entrar en un avión en la forma descripta requiere de una disciplina rigor que resulta virtualmente imposible de implementar.

Eso motivó a varios científicos de diferentes áreas a seguir intentando y a usar métodos cada vez menos tradicionales.

Un grupo de investigadores de universidades de Noruega, Israel y Latvia [6] elaboró un modelo con premisas distintas. Dividieron a los pasajeros en dos grupos: ‘lentos’ y ‘rápidos’. Por un lado está el grupo de pasajeros que tienden a tardar más tiempo hasta que se sientan. Y por otro está el resto de los pasajeros. Claramente, a este último grupo se le puede pedir que embarque antes después que el otro. ¿Cuál es la mejor estrategia entonces? Por supuesto, no se me escapa que conseguir categorías absolutas es virtualmente imposible, pero por un instante concédame que pudimos distinguirlos y los tenemos separados.

Ahora, piense conmigo lo siguiente: ¿qué es lo que hace que un pasajero retrase a otros? Depende de múltiples factores, pero en principio hay dos que sobresalen:

  1. Su posición en la hilera que se forma para ingresar;
  2. La fila en la que está ubicado su asiento.

Está claro que en un avión todos tienen asignado un asiento [7]; la dificultad aparece cuando uno quiere elaborar una estrategia que permita minimizar el tiempo que media desde que empezó el embarque hasta que todos estén sentados. Pero claro, esto no sólo involucra avanzar en la cola. Para que el pasajero llegue a la fila donde está su sitio, primero tiene que superar todos los obstáculos de las personas que lo precedieron en el pasillo, esperar a que cada una/o haya ubicado su equipaje de mano y recién entonces sentarse donde le corresponde. Son muchas variables, que además se ven afectadas porque hay gente que no puede ubicar su equipaje arriba de los asientos porque es muy pesado, o porque no entra en el compartimento superior, o porque hay que cambiarlo de posición, o porque hay fricciones con otros pasajeros que ingresaron antes y ocuparon más espacio del que les correspondía y sin contar la presión que una persona siente por la responsabilidad de estar deteniendo todo el proceso. Todo cuenta.

A medida que leía el trabajo de Erland, pensé lo siguiente: si uno hace entrar y sentar a aquellos que están ubicados en las últimas filas, el método no evita la cola sino que la traslada en el espacio. Ahora la cola se forma adentro del avión y no afuera, como estaba antes de empezar el embarque.

Pero volvamos a los dos grupos: los rápidos y los lentos. La intuición pareciera indicar lo siguiente (y en el camino, deténgase acá y piense qué es lo que haría usted): ¿qué grupo tendría que ingresar primero, el rápido o el lento?

Uno está tentado en decir que deberían ingresar los más rápidos primero y después el resto. De hecho, las compañías aéreas ya hacen una distinción a la que ya estamos acostumbrados y que nos resuelve una parte del problema (en apariencia): los pasajeros que viajan con niños o con bebés entran primero. Lo mismo sucede con las personas que tienen algún tipo de discapacidad física visible, aquellos que necesitan muletas o sillas de ruedas o ‘andadores’, por poner tres ejemplos clásicos. Da la sensación de que una vez que uno resolvió la situación de este grupo de personas que son las visiblemente más necesitadas, el resto no debería presentar inconvenientes.

Sin embargo, la intuición falla: Erland y su grupo, lograron demostrar [8] que el tiempo de ingreso disminuye sensiblement si uno hace ingresar primero a las personas más ‘lentas’. Parece anti-intuitivo, ¿no es así? ¿Cómo puede ser mejor que entren primero las personas más lentas?

Pero después de haber elaborado su estrategia, y comprobarla usando una metodología basada en lo que se llama “Geometrías de Lorentz” en física, el objetivo es tratar de evitar lo que ellos llaman la serialización (ya me explico) y promover la paralelización (y otra vez, ya me explico). ¿Qué quiere decir esto?

Hacer algo en forma seriada significa que los eventos se van produciendo unos tras otros: uno necesita esperar que suceda uno para poder pasar al siguiente. Hacerlos en forma paralela significa lograr que se produzcan varios eventos en forma simultánea, en paralelo. Si en el caso del embarque de un avión usted pudiera conseguir que múltiples pasajeros se sentaran en forma simultánea, lograría disminuir fuertemente el tiempo a invertir.

Por supuesto, aunque no lo escribí hasta acá, la idea de modelar surge de la imposibilidad de practicar con personas físicas. La matemática entonces provee de modelos que tratan de replicar o simular la realidad. De hecho, las conclusiones que leerá más adelante se produjeron luego de haber repetido la experiencia más de ¡diez mil veces!

Como escribí más arriba entonces, hay dos alternativas entonces:

  1. Hacer entrar primero a los más rápidos, o
  2. Hacer entrar primero a los más lentos.

En el primer caso, cuando el último de los pasajeros ‘rápidos’ ya se sentó, el primero de los más ‘lentos’ hace su ingreso. Entre el tiempo que tarda en ubicarse y la obstrucción que produce, impide que varios se sienten simultáneamente.

En cambio, en el segundo caso, a medida que se va llegando al final de los más lentos, uno está en condiciones de hacer entrar a la primera tanda de los más rápidos. Por ejemplo, como dicen los autores, uno podría imaginar que en el tiempo que le lleva ubicarse al último de los lentos, tres o cuatro de los rápidos podrían encontrar sus asientos.

Mientras tanto, Erland [9], hizo algunas reflexiones que quiero compartir.

 “Cuanto más en paralelo se produce la ubicación de los pasajeros, más rápido será el embarque. No se trata de definir diferentes ‘estructuras’ o estrategias para abordar, sino de encontrar la mejor forma de lograr que múltiples personas se sienten al mismo tiempo”.

El modelo está basado en un proceso iterativo de dos etapas. Primero, todos los pasajeros se mueven hasta que llegan a la fila en donde está el asiento o, si no, hasta que son bloqueados en su trayectoria por otros pasajeros antes de llegar a la fila en donde está el asiento que van a ocupar. La segunda etapa consiste en considerar cuánto tiempo permanece un pasajero parado cerca de su asiento, intentando acomodar su equipaje de mano.

Después Erland hace una analogía extraordinaria, que no por conocida deja de tener validez. Suponga que usted tiene que trasladar arena y piedras del punto A al punto B, y para hacerlo va a utilizar un contenedor, de esos ‘amarillos’ o ‘naranjas’ que se ven en las calles o distribuidos en algún puerto. Si usted pone primero la arena, después le quedará muy poco espacio para ubicar piedras o decididamente no tendrá lugar. En cambio, si acomoda primero las piedras, la arena puede filtrarse perfectamente y de esa forma usted maximiza las cantidades. En este caso, evidentemente, el orden sí altera el producido final. En términos de abordar, uno necesita ‘sacarse de encima’ primero a la gente lenta y después, quedarse tranquilo porque los ‘rápidos’ siempre encuentran la forma de infiltrarse.

Mientras el “Método Steffen” replica —casi— las mismas ideas que la matemática usa para intentar resolver el “Problema del Viajante de Comercio”, donde los pasajeros entran en ‘olas’ en un sistema rígido y bien determinado, Erland y sus colaboradores recurrieron [10] a la física para crear su modelo [11].

¿De qué factores depende ese ingreso? ¿Qué lo mejora? ¿Qué lo frena? ¿Qué se podría mejorar?

El trabajo presentado por Erland en diciembre de 2019 permite predecir la velocidad de cada pasajero para ocupar su asiento, por supuesto, en forma aproximada, basado en tres parámetros:

  1. Su posición en la ‘cola’;
  2. El número de fila en la que está ubicada la persona;
  3. Tiempo que le llevaría dejar el pasillo libre.

El modelo calcula si —eventualmente— dos pasajeros se ‘chocarán’ u ‘obstruirán’ mientras van a la búsqueda de su lugar, basando la predicción en cuán lejos están los asientos de ambos y cuán separados están en la cola de embarque. Preste atención a esta conclusión: aunque dos personas tengan sus asientos cercanos pero estén separados en la hilera que se formó para ingresar (alejados en ‘el espacio’), es muy posible que no haya interferencias entre ellos. En cambio, si tienen asientos distantes pero están próximos en esta misma fila que es la que los lleva a sus lugares, eso dice que posiblemente  haya interferencia.

Después compararon el modelo que diseñaron —que hace ingresar primero a los pasajeros más lentos— con todos los otros métodos que se usan actualmente. Los resultados que obtuvieron son espectaculares, ya que en promedio el embarque es (casi) un 30% más rápido (un 28% para replicar lo que indica el texto).

Más aún: el tiempo es menor independientemente del porcentaje de pasajeros que se consideran ‘lentos’ y el porcentaje de aquellos que tardan más en liberar el pasillo que los conduce a sus asientos.

Hasta acá llego (al menos por hoy). Estamos ya en el año 2020. El primer vuelo de una línea aérea que produjo un vuelo con pasajeros (en donde hubiera que pagar por un asiento), fue en el año 1914. Ha pasado más de un siglo, largamente. El tamaño de los aviones creció mucho, son más rápidos, más cómodos, más seguros, menos ruidosos, tienen mayor autonomía de vuelo y son increíblemente resistentes. Cada vez pueden llevar más pasajeros y transportarlos de un punto a otro del planeta de la forma más eficiente imaginable.

Sin embargo, todavía no hemos sido capaces de encontrar un método eficaz para embarcarlos. ¿No parece mentira que suceda esto?

Apéndice 1

Quiero agregar algunas notas que fui tomando mientras leía el artículo madre de Erland y colaboradores. No pude incluir todo en la nota principal y por eso quiero compartir con usted algunos de mis apuntes.

1) Erland y su grupo utilizaron herramientas de Geometrías Lorentzianas [12] para probar que si uno hace embarcar primero a los pasajeros ‘más lentos’ y después al resto —los considerados ‘más rápidos’—, entonces el embarque requiere de menos tiempo y, por lo tanto, es más eficiente. Esta geometría es el fundamento matemático que utilizó Einstein para su Teoría de la Relatividad General. En este caso, Erland usó la conexión que hay entre la dinámica microscópica de partículas que interactúan (pasajeros que intentan sentarse) con las propiedades macroscópicas que se generan (el tiempo que tardan hasta lograr su objetivo).

2) La razón esencial para que esto sea cierto es que esta estrategia utiliza al máximo la ‘paralelización’, o sea, permite que varios pasajeros ocupen sus asientos simultáneamente en diferentes sectores del avión

3) Un argumento del artículo que me pareció interesante es el siguiente. El objetivo es lograr la paralelización, o sea, que haya múltiples pasajeros que estén ocupando sus asientos simultáneamente en diferentes partes del avión. Piense qué haría usted, cuál de estas dos situaciones que le voy a plantear elegiría para minimizar el tiempo de embarque. Si uno hace entrar primero a los más lentos, puede aprovechar cuando se están sentando los últimos de este grupo, para hacer entrar a los más rápidos. Eso ofrece una ventana de tiempo. Por otro lado, si uno hiciera entrar primero a los más rápidos, podría intentar lo mismo: hacer ingresar a los primeros entre los más lentos mientras se están sentando los últimos de los más rápidos. Esta es otra ventana de tiempo. ¿Cuál ventana le parece que es más grande? ¿En cuál de las dos se podrán sentar más pasajeros?

Si lo piensa un ratito, verá que uno puede aprovechar mejor el tiempo en el primer caso: cuando se están sentando los últimos entre los lentos, los más rápidos pueden encontrar sus asientos y ocuparlos simultáneamente. En cambio si uno utiliza la otra estrategia, los más rápidos se ubican rápido también y no hay mucha oportunidad para que muchos de los lentos que entran primero se puedan acomodar.

4) La pregunta esencial es: ¿qué y quién decide que un pasajero/a pertenece al grupo de los más ‘lentos’ o más ‘rápidos’. Claramente ese es el tema clave en todo el artículo. Es difícil ponerse de acuerdo porque hay múltiples restricciones. Uno podría decir que quienes no llevan equipaje de mano deberían pertenecer al grupo de los ‘rápidos’. Podríamos también dividirlos de acuerdo con el número de bultos con el que ingresan al avión. Como no pueden hacerlo con más de dos, habría tres grupos posibles: ninguno, uno o dos. Pero esto también tiene el inconveniente de que el único bulto con el que un pasajero ingresa es justamente un ‘carrito con rueditas’, que ocupa lugar mientras lo transporta en el pasillo y mucho lugar en la parte superior. Por otro lado, este tipo de equipaje no cabe debajo de los asientos y, por lo tanto, requiere de la utilización del compartimento que está arriba de los asientos. ¿Y el peso? Está claro que habrá que considerarlo como un factor. ¿Y los abrigos? ¿Y el tamaño? Las dimensiones del carrito hace que muchas veces el compartimento superior no ‘cierre’.

La moraleja de esta parte es: ¡no hay manera de sacar una conclusión general que sirva para distinguir a los dos grupos!

5) Hay un hecho muy importante que quiero señalar lo antes posible: puede que exista un método óptimo, pero aún si existiera, requeriría de establecer un grupo de restricciones o reglas que los pasajeros deberían cumplir. Estas reglas generan insatisfacción, molestia y tendencia a violarlas o incumplirlas. ¿Quién garantiza que se cumplan? Es por eso que las compañías aéreas aprendieron a coexistir con el problema. Sin necesidad de consultar con los clientes, todos aceptamos con naturalidad que pasajeros que viajen con niños o personas con dificultades físicas entren primero, pero no está claro que uno pueda ‘distinguir’ o ‘definir’ ningún otro grupo que no genere ningún tipo de reacción adversa entre los pasajeros que están esperando en una fila.

6) La otra distinción que es aceptada por toda la sociedad, como si fuera tan natural como las anteriores, es la que se desprende del dinero. Es decir, la calidad del asiento que un pasajero va a ocupar tiene un privilegio extra. No solo ofrece mayores comodidades en espacio, mejor comida sino que ingresa antes, hace menos cola, espera menos tiempo y tiene más opciones para elegir qué hacer con su equipaje de mano.

7) Los estudios que hicieron Erland y sus colaboradores muestran algo totalmente anti-intuitivo. Si uno permitiera que los pasajeros entraran al avión en forma aleatoria (al azar), los resultados son muy buenos, ya que resultan más eficientes —en promedio— que los que se usan actualmente.

8) Otra estrategia que ha sido investigada largamente es la de embarcar de atrás hacia adelante, pero vuelve a suceder algo curioso y nuevamente contradice la intuición. Resulta mucho más eficiente permitir que los pasajeros ingresen al azar que siguiendo la metodología de forzar que entren primero los que se sientan en las últimas filas. Notable, pero cierto.

9) Más allá del análisis teórico, aparecen otro tipo de factores a tener en cuenta:

  1. ¿Aceptarán los pasajeros rápidos que los lentos ingresen primero?
  2. Hay personas que no quieren estar sentadas mucho tiempo en un lugar pequeño y preferirían esperar afuera. Sus preferencias también tendrían que ser contempladas.
  3. Aquellos que prefieren esperar afuera y abordar últimos, puede que encuentren el lugar destinado para su equipaje de mano ocupado. ¿Qué hacer entonces?
  4. Las compañías aéreas han implementado una política de cobrar por peso desde hace mucho tiempo. Esto promueve —naturalmente— la idea de llevar una mayor cantidad de equipaje dentro de la cabina. O sea, por un lado sería preferible que todo el mundo viajara sin equipaje de mano para abordar más rápido, pero si así lo hace, tendrá que despachar en la parte de carga del avión un mayor peso, que representa un incremento en lo que el pasajero paga por viajar.

[1] La historia apareció en el libro “Matemática… ¿estás ahí? – Episodio 100”, pag 162, y en el diario Página 12, aquí: http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-101146-2008-03-23.html

[2] En la Argentina, ciertamente es un privilegio. Si pudiera, me gustaría hacer un estudio o una estimación de cuánta gente del total de personas que habitan nuestro suelo se subieron alguna vez a algún avión. Entiendo que no es el objetivo de esta nota, pero muchas personas toman como natural viajar en avión. Les sugeriría que recorran nuestro país con un poco más de frecuencia y corriéndose de lo que (nos) es habitual: la Capital Federal y zonas aledañas. Creo que eso contribuiría a extraer mejores conclusiones.

[3] https://www.eurekalert.org/pub_releases/2020-01/aps-ats_1010820.php

[4] Jason Steffen es un astrofísico norteamericano que en el año 2008 trabajaba en el FermiLab ubicado en la ciudad de Batavia, muy cerca de Chicago. Allí está instalado el Acelerador de Partículas que fue durante muchos años el más rápido del mundo, hasta que apareció el CERN, en la frontera Suizo-Francesa, cuyo acelerador fue conocido con el nombre de “La Máquina de Dios”. Hoy Steffen es profesor de física y astronomía en la Universidad de Nevada, ubicada en Las Vegas. Su método es conocido mundialmente como “El Método de Steffen” (para embarcar pasajeros en un avión).

[5] Mantuve la palabra “Front” que utilizó él para indicar donde está la parte ‘delantera’ del avión.

[6] Sveinung Erland es profesor en el Department of Maritime Studies (Western Norway University of Applied Sciences, Haugesund, Noruega), Jevgenijs Kaupuus, profesor en la Faculty of Materials Science and Applied Chemistry (Riga Technical University (Latvia) y en el Institute of Mathematical Sciences and Information Technologies de la University of Liepaja (Liepaja, Latvia también), Vidar Frette, investigador en el Deparment of Fire Safety and HSE Engineering, Western Norway University of Applied Sciences (Haugesund, Noruega), Rami Pugatch en el Deparment of Industrial Engineering and Management, en Ben-Gurion University (Beer-Sheva, Israel) y Eitan Bachmat, en el Department of Computer Science de la misma universidad.

[7] La compañía Southwest en Estados Unidos, garantiza que usted tenga un asiento, pero no le dice cuál. Es como ingresar a ver una película en donde las entradas no son numeradas. Eso es lo que hace Southwest. ¡Y no les va mal para nada!

[8] https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.100.062313

[9] En este sitio: https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.100.062313, es posible obtener el PDF con el artículo original.

[10] En un resumen de su trabajo escribieron: “Estudiamos el embarque en un avión en el límite de un gran número de pasajeros usando óptica geométrica en una métrica Lorentziana… La duración del proceso se puede calcular basado en una representación de una ‘fila’ unidimensional que intenta alcanzar asientos ubicados en un diagrama bidimensional espacio-tiempo. Un pasajero retrasa a otros dependiendo de su posición en la hilera que pugna por entrar y sentarse y por la fila en la que está ubicada/o». 

[11] https://www.researchgate.net/publication/40670094_Geometria_de_Lorentz_el_universo_en_una_hoja_de_papel

[12] El artículo de Erland y colaboradores, fue publicado en la revista más prestigiosa de física, Physical Review E acá: https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.100.062313

El prestigio de una revista científica se basa fundamentalmente en el grupo de editores y la calidad de los referís, quienes son los que reciben y juzgan la validez, autenticidad, originalidad y reproducibilidad del artículo ‘a publicar’. Es por eso que, cuando Erland y su grupo hacen afirmaciones respecto de cómo corroboraron lo que sostienen en su tesis, yo les creo. En algún sentido es como decir que quienes fueron los referís del artículo, hicieron el trabajo que les correspondía y comprobaron que los datos presentados eran correctos.

 

 

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6 Comentarios
  1. Ignacio dice

    Un detalle: El nombre de Latvia en castellano es Letonia.

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