El sueño de todo alumno

(Que también fue el de Paenza, en su momento.)

 

No sé cómo le habrá ido a usted en la escuela cuando se trataba de ‘matemática’, pero yo recuerdo un momento muy particular. Fue el día en donde nos enseñaron a ‘simplificar’. ¿Le pasó lo mismo a usted?

Cuando creí haber entendido lo que significaba, pensé que había ‘crecido’ (matemáticamente hablando). A partir de allí, simplificar los factores comunes de numerador y denominador, hacía las cuentas mucho más sencillas. La vida me sonreía. Encima, no había calculadoras… O mejor aún: ni siquiera sabíamos que no había lo que no había. Le pido que no se abandone acá. Le prometo que se va a divertir.

Suponga que alguien nos pedía que dividiéramos 300 por 60. Se ponía así:

300/60 = 30/6 = 5.

Puedo ‘tachar’ los ‘0’ del numerador y denominador. Facilísimo. ¡Qué buen momento!

O si teníamos que dividir 486 por 12 , uno descubre que numerador y denominador son múltiplos de 3. Entonces, pone así:

486/12 = (162 x 3)/(4 x 3) = 162/4 (después de ‘tachar’ los ‘3’)

Ahora, como 162 y 4 son pares, son múltiplos de 2. ¡Puedo seguir simplificando! ¡Fiesta!

162/4 = (81 x 2)/(2 x 2) = 81/2 (después de ‘tachar’ los ‘2’)

Claro, cuando uno cree que ya entendió todo lo que hace falta para llevarse el mundo por delante, viene el golpe contra la realidad.

Sígame con este ejemplo. Suponga que tiene que dividir 482 por 62. Pone así:

482/62 = 48/6 = 8

La tentación entonces es ‘eliminar’ al número ‘2’ (como antes hizo con los ceros). Los tacha y queda 48/6 y al dividir 48 por 6 obtiene 8. Otra vez, muy fácil…. Pero lamentablemente, ¡ya no es más cierto! ¿Y entonces?

Aparece algo peor: la mirada amenazante de la maestra (o el maestro) que suelta sin piedad:

“¡Eso no se puede hacer!”….

¿Por qué? ¿Cómo que no se puede? ¿No puedo ‘tachar’ arriba y abajo cuando hay dos números iguales como hicimos antes?”

Y… no. No se puede. O mejor dicho, en general no se puede.

Sin embargo, hay algunos casos en los que sí se puede. Son pocos y por lo tanto resultan ser muy curiosos. Acá van [1].

a) 64/16 = 4/1 = 4

Aquí taché el ‘6’ en el numerador y denominador. Eso no se puede hacer ‘casi’ nunca, pero en este caso… sí.

b) 98/49 = 8/4 = 2

Aquí hice desaparecer al número ‘9’). Lo mismo que en el caso anterior: casi nunca es válido, pero acá… sí. (¡compruébelo usted!)

c) 95/19 = 5/1 = 5.

Esto sucedió después de eliminar los ‘9’. No funciona ‘casi’ nunca… pero acá… sí.

d) 65/26 = 5/2.

Lo mismo: taché el ‘6’ en el numerador y denominador. El resultado sigue siendo válido.

La enciclopedia digital de Stephen Wolfram afirma que esos son los únicos cuatro casos que involucran números de dos dígitos.

Si uno extiende el análisis a números de hasta tres dígitos, acá abajo está la lista completa de los que también verifican la ‘cancelación anómala’, o sea, eliminando el (o los) dígito(s) del numerador y denominador sin que eso altere el resultado correcto.

13/325  = 1/25 (eliminado el ‘3’)

124/217 = 4/7 (eliminados el “1” y el “2”)

127/762 = 1/6 (eliminando el “2” y el “7”).

La lista se completa con los siguientes ejemplos:

138/184 = 3/4

139/973 = 1/7

145/435 = 1/3

148/185 = 4/5

154/253 = 14/23

161/644 = 11/44

163/326 = 1/2

166/664 = 1/4

176/275 = 16/25

182/819 = 2/9

187/286 = 17/26

187/385 = 17/35

187/748 = 1/4

199/995 = 1/5

218/981 = 2/9

266/665 = 2/5

273/728 = 3/8

275/374 = 25/34

286/385 = 26/35

316/632 = 1/2

327/872 = 3/8

364/637 = 4/7

412/721 = 4/7

436/763 = 4/7

Hasta acá, una curiosidad. Pero ahora, tengo una sugerencia.

¿No sería más adecuado proponerles a los alumnos, o sea, a nosotros, que nos pusiéramos a buscar ejemplos como los que figuran más arriba y ver si podíamos encontrarlos? ¿Existirán? ¿No sería un método mejor para entender por qué no se puede simplificar de esa forma en la mayoría de los casos?

Está claro que hay que invertir tiempo y explorar múltiples casos, pero más allá de la diversión o entretenimiento educativo, podríamos evitar la mirada condenatoria de quien ‘sabe que no se puede’ pero lo transmite por la autoridad que le confiere el cargo.

¿Cuándo llegará el momento de cambiar los métodos educativos por otros que permitan explorar y descubrir sin que el –supuesto— conocimiento llegue en forma ‘vertical’?

Usted, ¿qué piensa?

 

Subnota

Hace unos meses le escribí a Carlos D’Andrea, gran amigo, matemático argentino, profesor en la universidad de Barcelona, contándole sobre El sueño de todo alumno… que fue el mío, también.

A Carlos le gustó mucho y aprovechó una cena que organizó con un grupo de amigos para proponerles que pensaran otros ejemplos, además de los que yo puse acá arriba. En principio, les ofreció los mismos que yo:

64/16  = 4/1 = 4

98/49  = 8/4 = 2

95/19 = 5/1 = 5

Quiero compartir ahora algunos párrafos extractados de un correo electrónico que Carlos me escribió sobre finales de enero del 2018.

Fue interesante ver pasar la velada y que no hayan encontrado nada pero nos divertimos mucho. Al final les pasé a cada uno una copia de tu nota, y cada uno se volvió a su casa.

Luis Dieulefait escribió un par de días mas adelante dando una especie de «familia de soluciones» que tiene una regla interesante para armar. Te paso debajo el email de Luis. Espero que te divierta…”

Y acá está lo que escribió Luis Dieulefait:

Muchas gracias a los anfitriones!

Respecto al problemita, ¿puedo tachar la cifra de las decenas en ambos números?

(La respuesta es que sí, que se puede). Entonces sigue Luis:

De ser así hay una pléyade de soluciones de tres cifras, tomando ciertos múltiplos de 11. Voy a exhibir algunos ejemplos.

 561/264 = 51/24
187/484= 17/44
253/154= 23/14
198/495 = 18/45
297/396 = 27/36
 

Fíjese que en todos los números de tres dígitos que aparecen en cada ejemplo, la suma de los dos dígitos de ‘las puntas’, resulta igual al dígito del medio (al de las ‘decenas’). Es decir, son todos números de la forma acb en donde (a+b = c).

Justamente en este caso, cuando uno tiene números de tres dígitos con esta característica, tachar el dígito del medio, equivale a dividir por 11. (Haga usted la prueba… Sí, usted.)

Por eso, cuando uno tacha el dígito del medio en 561, es como si lo hubiera dividido por 11, y resulta 51. Lo mismo con 264: si uno ‘tacha’ el 6, queda 24, que es lo mismo que dividir 264 por 11.

En consecuencia, el cociente 561/264 = 51/24 porque es uno simplificó por 11 en el numerador y el denominador… ¡y listo!

Si entendió el argumento de Luis, creo que usted misma/o puede pensar otros ejemplos… ¿qué le parece?

[1] El método se conoce con el nombre de ‘Cancelación Anómala’. Aparece acá: (http://mathworld.wolfram.com/AnomalousCancellation.html) y fue descripto por el grupo de matemáticos que trabajan en la extraordinaria enciclopedia digital creada por Stephen Wolfram: mathworld.wolfram.com

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