Ganar(le) a la lotería

Cuando las probabilidades no están de nuestro lado

 

Si usted está acostumbrada/o a ‘apostar’ y/o a jugar a juegos que involucren loterías, lotos, quinielas y cualquier otra variante, los dos ejemplos que siguen quizás la o lo ayuden a pensar de nuevo.

Eso sí: no son ideas mías, sino de Ehrhard Behrends. Ehrhard es un matemático alemán, profesor titular en la Universidad de Berlín. Quiero aprovechar este espacio para contar cómo lo conocí. En enero del año 2013, la Unión Matemática Internacional eligió un conjunto de matemáticos –uno por continente— para que integraran (integráramos) un jurado. El objetivo era elegir los mejores trabajos que hubieran sido aportados por jóvenes, con la idea de resaltar y exhibir (o visibilizar) la importancia de la matemática en el año llamado “El Año del Planeta Tierra”.

Durante casi una semana estuvimos reunidos en la Universidad de Brown, una de las más importantes de Estados Unidos. Está ubicada en la ciudad de Providence, estado de Rhode Island, en un predio verdaderamente espectacular. Es además, una de las instituciones más prestigiosas no solo de Estados Unidos sino del mundo. Es una de las ocho universidades que integran el ‘selecto’ grupo conocido como ‘Ivy League’. [1]

Las ocho universidades están ubicadas en la Costa Este: Columbia University, Dartmouth College, Cornell University, University of Pennsylvania (en Filadelfia), Princeton, Yale, Brown y Harvard (además de Brown). Pero, para variar, me desvié.

El objetivo era ser jurados del concurso llamado “Matemática del Planeta Tierra” (“Mathematics of Planet Earth”). Cada miembro es elegido representando a un continente, y como la reunión se hizo en Estados Unidos, únicamente los americanos tuvieron dos miembros en el jurado, ya que Thomas Banchoff fue el anfitrión, en tanto que profesor titular y emérito en la propia Universidad de Brown. El presidente fue justamente Ehrhard Behrends, alemán y profesor en la Universidad de Berlín.

De conversaciones que tuve con él y de su libro Five-Minute Mathematics (Matemáticas en Cinco Minutos [2]), extraje el par de ejemplos que quiero exhibir acá para que sea usted quien decida cuán difícil es ganar si uno juega a la lotería. Yo pongo los ejemplos; usted saque las conclusiones.

Como voy a hablar de lotería, no es lo mismo jugar en la Argentina que en España, en Colombia o en Alemania. Cada país tiene sus propias reglas. El caso que voy a usar acá corresponde a la lotería alemana [3], pero por ahora no se preocupe: creo que los dos, usted y yo, estamos convencidos en que es… bastante difícil acertar y/o ganar. Justamente, los dos ejemplos que siguen ponen en perspectiva cuán difícil es. Acá voy.

1) Suponga que usted está viajando en un colectivo. Afuera llueve. Usted está parada (o parado), ya que no hay lugares libres. En una de las paradas, una de las personas que estaba sentada advierte que allí es donde tendría que bajar, pero no se había dado cuenta. Salta apurado del asiento y alcanza a salir del colectivo justo a tiempo. Lo que no pudo registrar es que dejó su paraguas apoyado sobre el asiento. Se lo olvidó. Usted, que fue una observadora pasiva de lo que sucedía, recoge el paraguas con una idea: llegar a su casa, tomar el teléfono y discar –al azar— un número cualquiera de siete dígitos (por ejemplo, 987-6543). Su ilusión es que ese número sea el que corresponde exactamente al de la casa en donde vive la persona que usted vio bajar apurada y que olvidó el paraguas. No sé si hace falta que lo escriba, pero esta última historia está ‘pre-fabricada’. Pero antes de que se ría de la persona a la que se le ocurriera esta idea, convendría que piense que es más probable que el señor que marque el número de teléfono acierte con el de la persona que olvidó el paraguas que si comprara un boleto de lotería y ganara el primer premio. Sí, así como leyó.

Para aquellos que quieren tener más precisiones, la probabilidad de ganar si uno juega a la lotería en Alemania es de 1 en 13.983.816. Digo esto, porque si usted trata de averiguar cuántos números de siete dígitos se pueden conseguir, eso resulta ser exactamente diez millones (y esto es incluyendo números como 111-1111 que como usted imagina no corresponde a ningún abonado ‘en servicio’).

Por último, y para entender de dónde sale el número 13.983.816, la lotería en Alemania consiste en elegir seis números cualesquiera (sin repetir) entre 1 y 49. O sea, por ejemplo, usted podría elegir:  03, 08, 16, 23, 47 y 49. Si le interesa un poco más, el número combinatorio (49,6) = 13.983.816. Casi le estoy sugiriendo que vaya y haga la cuenta y verifique que lo que acabo de escribir (y usted de leer), es correcto.

2) Otra forma de estimar cuán baja es la probabilidad de elegir los seis números ganadores es la siguiente. Tome un mazo de cartas cualquiera. En general, si usted apoya en una mesa uno de estos mazos de cartas (con las que se juega al póker por ejemplo), la altura del mazo es de (aproximadamente) 2.5 centímetros (2 centímetros y medio). Como usted advierte, esos dos centímetros y medio son los necesarios si uno apoya 52 cartas. Ahora quiero que pensemos –juntos— cuántos mazos de cartas hacen falta para tener casi 14 millones de naipes (elegí ‘casi’ 14 millones, porque el número que buscamos es de 13.983.816). Para ahorrarle tiempo, yo hago la cuenta por usted: 270.000 mazos de cartas. Sí, doscientos setenta mil mazos de cartas. Como cada mazo tiene una altura de 2.5 centímetros, 270.000 mazos son 675.000 centímetros, o lo que es lo mismo (y le propongo una vez más que haga las cuentas usted también), casi ¡siete kilómetros!

Es decir, si usted apoyara sobre una mesa 13.983.816 cartas, tendría una pila que iría desde el piso hasta casi siete kilómetros de altura.

Ahora bien: imagine que una de esas cartas tiene una ‘marca’, una ‘señal’… tiene ‘algo’ que la identifica, que la separa del resto.

Usted, que sabe bien que hay solamente una de ellas que tiene esa marca, se acerca a esa pila enorme (de casi siete kilómetros de altura) y elige una. Sí… ¡esa!

Bien, justo esa que usted eligió es la que tiene el premio.

¿Cuánta confianza se tiene?

Si usted aún tiene ganas de jugar, métale para adelante. Yo prefiero guardarme el dinero que tenía previsto invertir en la apuesta. Claro, obrando de esta forma yo estoy seguro que no voy a ganar. En cambio para usted, la probabilidad de ganar… ¡no es cero! Pero, como escribí más arriba, usted decide qué hacer con su dinero.

 

[1] “Ivy”, en castellano significa hiedra.

[2] La traducción al español de la versión inglesa del título me pertenece, y no estoy seguro que ese sería el título que él quisiera poner. Pero, en cualquier caso, lo que importa es que si usted quiere conseguir el libro, el original es en alemán, y la versión inglesa, se llama Five-Minute Mathematics.

[3] La lotería en Alemania se juega así: de un ‘cartón’ con los primeros 49 números, usted tiene que elegir seis. Para ganar el primer premio, necesita acertar todos.

3 Comentarios
  1. Paolo R dice

    Por eso es mas util, para todos decir que la loteria es ” la cuenta de ahorro del boludo ” que escribir tanto libro al pedo

  2. Raul Martinez dice

    No entiendo que tienen que ver los primeros cinco párrafos de la nota con la probabilidad de ganar la lotería. Más útil para el lector interesado hubiera sido aclarar que en el Lotto 6/49 que se juega en varios países, no solo en Alemania, el número 13.983.816 resulta de multiplicar los números (49x48x47x46x45x44), o sea la probabilidad de sacar un número cualquiera entre 49, luego entre 48, y así sucesivamente, hasta obtener los seis números ganadores, y luego dividir este producto por 6! = (6x5x4x3x2x1).

    Los dos ejemplos extraídos del libro mencionado, son muy ingeniosos.

  3. Lectus dice

    Sin embargo, muchas personas juegan/jugamos a este tipo de loterías, esperando un golpe de suerte, que el azar les/nos resulte favorable. Lo cierto y verdad es que, dado que la probabilidad de acertar es ínfima, pero aún así (casi) todxs jugamos, las loterías son un tributo voluntario más que rentable para los erarios públicos.

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