Le hago esta pregunta en serio

Parecerá imposible de responder, pero no lo es

 

El problema que sigue me pareció espectacular. Lo he visto en varios lugares, pero el primero (y a quien me gustaría darle el crédito a pesar que no sé si fue él quien lo originó) fue el matemático británico Nigel Coldwell.

Cuando uno se sitúa frente al problema por primera vez, tiene ganas de decir: “¿en serio me hacés esa pregunta?” Vea usted lo que piensa.

Hace unos meses se efectuó una competencia de atletismo con una curiosidad: solamente participaron tres mujeres: Alicia (a la que voy a llamar A), Beatriz (B) y Carmen (C). Ellas (y nada más que ellas) intervinieron en todas las disciplinas y no participó ninguna otra atleta.

Los puntos que se obtenían en cada uno de los tres puestos era la misma cantidad: x por salir primera, y por salir segunda y z por salir tercera. Los tres números (x, y, z) son números naturales (mayores o iguales que 1), y naturalmente se cumple también:

x > y > z

Es decir, como es esperable, la atleta que salía primera en cada prueba obtenía más puntos (x) que la que salía segunda (y); lo mismo sucedía entre la que salía segunda, que conseguía y puntos y la que salía tercera (z puntos).

Una vez finalizadas todas las competencias, estos son los datos que se obtuvieron:

  1. A obtuvo 22 puntos en total
  2. B ganó los 100 metros llanos y en total obtuvo 9 puntos
  3. C también terminó con 9 puntos.

Ahora sí, la pregunta: ¿quién salió segunda en salto en alto?

¿Vio? Parece mentira que uno pueda deducir la respuesta, ¿no le parece?

Bueno, a mí me pareció eso. Quizás a usted no. En cualquier caso, la dejo planteada y usted dirá cuántas ganas tiene de dedicarle un rato para pensar.

Ah, antes que se pregunte si no faltan datos, créame que no, que no falta ninguno, ni siquiera el número de pruebas en las que compitieron. Nada. Está todo bien así. Ahora le toca a usted.

 

Solución

Lo notable es que uno pueda encontrar la respuesta sin saber dos pares de datos esenciales:

  1. ¿En cuántas competencias participaron?
  2. ¿Cuáles son los valores de x, y y z?

Pensemos juntos. Yo no pude encontrar una manera de resolverlo que involucrara escribir algunas igualdades (o ecuaciones) y haciendo operaciones algebraicas, deducir quién salió segunda en la competencia de salto en alto. En todo caso, lo que tuve que hacer fue ‘arremangarme’ y analizar caso por caso. Acompáñeme por acá.

Dato 1

Como A obtuvo 22 puntos, B y C obtuvieron 9, eso significa que en total se repartieron 40 puntos. Como no sabemos en cuántas disciplinas compitieron, voy a llamar N a ese número.

Como en total juntaron 40 puntos, eso significa que:

N * (x + y + z) = 40               (1)

¿Por qué? Es en cada competencia se repartían (x + y + z) puntos, y por otro lado, para llegar a los 40 puntos, necesitamos multiplicar ese número por la cantidad de disciplinas. Ahora, llegó el momento de “arremangarse”.

¿De cuántas formas se puede descomponer el número 40 como producto de números naturales)? 40 se puede obtener así:

40 = 2 * 2 * 2 * 5                   (2)

Fíjese en la igualdad (1). Agrupemos los factores que aparecen en la igualdad (2) de todas las posibles formas.

40 = 2 * 20

40 = 4 * 10

40 = 8 * 5                                            (3)

40 = 5 * 8

40 = 10 * 4

40 = 20 * 2

(Donde, si bien hay varias descomposiciones iguales, estoy suponiendo por un momento, que N es el primer factor.)

Si el segundo factor de cada igualdad es (x + y + z), esto significa que este número puede tomar estos valores:

20, 10, 5, 8, 4 y 2

(Fíjese en el segundo factor de cada una de las igualdades de (3)).

Por otro lado, los mismos números (2, 4, 5, 8, 10 y 20), son los posibles valores para  N .

Piense que como x > y > z, el valor más chico que puede tomar z es z = 1, y por lo tanto, esto obliga a que el valor más chico de y = 2 y el de z = 3. O sea, sumando estos valores, el número mínimo que puede tomar (x+y+z) es 6. Esto permite descartar de inmediato que:

(x+y+z) = 2

(x+y+z) = 4

(x+y+z) = 5.

Estos tres valores son imposibles para (x+y+z). Quedan entonces tres valores posibles: 8, 10 y 20.

Vamos descartando algunos casos:

  1. ¿Puede ser (x+y+z) = 20? Esto significa que entre los tres primeros puestos, obtuvieron 20 puntos. ¿De cuántas formas se puede descomponer 20 en tres números positivos en forma estrictamente decreciente?

20 = 17+ 2+ 1
20 = 16+ 3+ 1
20 = 15+ 4+ 1
20 = 14+ 5+ 1
20 = 13+ 6+ 1
20 = 12+ 7+ 1
20 = 11+ 8+ 1
20 = 10+ 9+ 1
20 = 15+ 3+ 2
20 = 14+ 4+ 2
20 = 13+ 5+ 2
20 = 12+ 6+ 2
20 = 11+ 7+ 2
20 = 10+ 8+ 2
20 = 13+ 4+ 3
20 = 12+ 5+ 3
20 = 11+ 6+ 3
20 = 10+ 7+ 3
20 = 9+ 8+ 3
20 = 11+ 5+ 4
20 = 10+ 6+ 4
20 = 9+ 7+ 4
20 = 9+ 6+ 5
20 = 8+ 7+ 5

Ahora bien: estas son todas las posibles distribuciones de puntajes en los tres primeros puestos, SI LA SUMA de los puntos repartidos fue 20.

Fíjese algo muy curioso. Mire la lista que hay arriba sobre las descomposiciones del número 20. Le recuerdo que B por un lado ganó una de las competencias (lo que significa que —al menos— ganó 8 puntos) y por otro lado, obtuvo… ¡en total! 9 puntos. Entonces, es imposible que esa haya sido la distribución, porque si ganó como mínimo 9 puntos (que es la última descomposición que figura en la lista), entonces, en la otra competencia tuvo que haber obtenido o 7 o 5 puntos. Luego, siempre se pasó de 9 puntos.

Moraleja: la distribución de puntos entre los 3 primeros puestos ¡no pudo ser de 20 puntos!

Quedan solamente dos posibilidades:

  1. (x+y+z) = 10 y entonces N = 4, o bien
  2. (x+y+z) = 8 y por lo tanto, N = 5.

Empecemos por el caso (b) en donde (x+y+z) = 10 y N = 4. Hagamos el mismo análisis de más arriba, cuando la suma de (x+y+z) = 20.

¿De qué maneras podemos descomponer 10?

  1. 10 = 7, 2, 1
  2. 10 = 6, 3, 1
  3. 10 = 5, 4, 1
  4. 10 = 5, 3, 2.

Y no hay más. Vayamos –como antes– caso por caso.

1. Si x = 7, como B ganó una competencia, con ese triunfo ya tendría 7 puntos. Como faltan añadir lo que le pasó a B en las otras tres disciplinas, por menos que haya hecho, tuvo que haber sumado 1 punto en cada una, y llegaría a 10. Luego, este caso no puede ser.

2. Si x = 6, como B ganó una competencia, puede ser que haya obtenido 1 punto en las otras 3 hasta llegar a 9. Pero en ese caso, ¿cómo hizo A para conseguir 22 puntos? Fíjese que aunque hubiera ganado las otras 3 competencias, sumaría 18 puntos, pero en la disciplina que ganó B, no pudo sumar más que 3 puntos (ya que la distribución es 6, 3 y 1 para los primeros tres puestos. Conclusión, esta situación tampoco pudo darse.

3.  Vayamos al caso (5,4,1). Si B ganó una competencia sumó 5 puntos, pero si salió segunda/o en otra, ya llegó a los 9 puntos y todavía faltan contar 2 competencias más. Luego, ese caso no fue.

4. Si es el caso (5,3,2), entonces obtuvo 5 puntos la vez que ganó, pero, aunque haya salido tercera/o en las otras 3, obtendría 6 puntos en esas 3 y sumados a los 5 de la que ganó, llegó a 11 puntos. No puede ser.

Listo. Hemos eliminado el caso en que (x+y+z) = 10 y N = 4.

La única posibilidad que queda, es que (x+y+z) = 8 y N = 5. Es decir, la suma de los puntos que se otorgaron en cada disciplina 8 y el total de disciplinas en las que compitieron, fueron 5. Analicemos qué pudo haber pasado en este caso.

Para hacerlo, estudiemos las formas en las que podemos descomponer el número 8 (en suma de tres números positivos, en forma estrictamente decreciente).

  1. 8 = 4, 3, 1
  2. 8 = 5, 2, 1

¿Por qué no hay más? Si el tercero obtiene 1 punto y ya descartamos los casos en el que el segundo obtiene 2 ó 3 puntos, entonces la única alternativa que queda es considerar que el tercero sacó 1 y el segundo sacó 4. Pero entonces, como la suma tiene que dar 8, y ya entre el 2do y el 3ro sumaron 5, el primero sacaría menos puntos que el segundo! Listo.

Por otro lado, si empezáramos suponiendo que el tercero saca 2 puntos, entonces, el segundo debería sacar (como mínimo) 3. Entre el segundo y tercer puesto obtendrían 5 puntos, y entonces, ya no queda ‘lugar’ para que el primero saque más puntos que el segundo.

Moraleja: los únicos dos casos para analizar son (a) y (b).

  1. 8 = 4, 3, 1. ¿Pudo haberse dado esta situación? Como A obtuvo (en total) 22 puntos, aún ganando las 5 competencias llegaría a 20 puntos. Luego, esta situación no pudo haberse dado. Y así llegamos a….
  2. 8 = 5, 2, 1 . Ya sabemos que B ganó una competencia. Luego, tiene 5 puntos. ¿Qué tuvo que haber pasado en las otras cuatro disciplinas? B tuvo que haber salido tercera en todas ellas. De esa forma, sumaría los 9 puntos. Acá, me quiero detener un instante. Fíjese que al suponer que B ganó una competencia y salió tercera en las otras cuatro, nos quedan por distribuir los puntos obtenidos en cuatro primeros puestos y cuatro segundos puestos y un solo tercer puesto. (¿Me siguió? Verifique los cálculos usted por su cuenta. No me acepte lo que yo escribí sin estar convencida/o.) Pensemos juntos entonces. Si C hubiera ganado alguna de las cuatro competencias restantes, ya tendría 5 puntos, pero como obtuvo 9 puntos en total, ¡no hay manera de que los consiga porque todos los terceros puestos —salvo uno- están tomados por B! Luego, C no pudo haber ganado ninguna competencia. La única alternativa es que hubiera salido segunda en cuatro competencias, y haya obtenido el tercer puesto en la disciplina que ganó B. De esa forma, obtiene los 9 puntos que era uno de los datos del problema. Y finalmente los lugares que quedan libres (cuatro primeros puestos y un segundo puesto), le otorgan a A los 22 puntos que consiguió. ¡Esta es la solución del problema!

A ganó cuatro competencias y obtuvo un segundo puesto: total 22 puntos

B ganó una competencia y salió tercera en las otras cuatro: total 9 puntos

C salió segundo en cuatro competencias y tercera en la que ganó B: total 9 puntos.

Pero lo notable es que esto permite contestar la pregunta original: ¡fue Carmen (C) la persona que salió segunda en la competencia en salto en alto!

De esta forma, con una cantidad de información mínima, hemos encontrado la respuesta a una situación que —de entrada— parecía imposible.

Algo más: este tipo de problemas, en donde todo lo que uno tiene que hacer es simplemente pensar , invitan a sacar una conclusión: la notable potencia del cerebro para analizar situaciones múltiples y encontrar respuestas a preguntas que parecen inaccesibles. Ojalá que usted lo haya disfrutado al leerlo/resolverlo, tanto como yo al plantearlo (y escribir la solución también).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22 Comentarios
  1. Dorothea Maidagan dice

    A NO puede haber salido segunda en salto.

    Los puntos son:
    A: 2 + 5 + 5+ 5 + 5 = 22 (2da en 1, 1ra en 4)
    B: 5 + 1 + 1 + 1 +1 = 9 (1ra en 1, 3ra en 4)
    C: 1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 9 (3ra en 1, 2da en 4)

    A nunca salió 3ra. Por eso cuando B salió 1ra, C tiene que haber salido 3ra. Y como alguien tiene que salir 2da, A salió 2da. A solamente salió 2da una vez (y eso en 100 metros, donde B salio 1ra y C 3ra) eso quiere decir que A no puede haber salido 2da en salto. Y como B nunca salió 2da, la unica que queda para haber salido 2da en salto es C.

    100 metros: B: 1ra
    A: 2da
    C: 3ra

    salto en alto: A: 1ra
    C: 2da !!!
    B: 3ra

    Las otras 3 pruebas: igual que salto.
    (yo lo pude resolver después de un rato)

  2. Ana Guerra dice

    Gracias Adrian Paenza por existir, soy una persona mayor, no tan buena en matemáticas pero sí en cálculos mentales , y con estos planteamientos que usted comparte nos ayuda a pensar. a poner en funcionamiento todas nuestras neuronas, «que no se oxiden» y el tener nuestro cerebro sano y lúcido, nos ayuda en todos los otros órdenes de nuestra vida. Siempre digo que ,mientras corre sangre por nuestras venas, podemos servir, podemos dar a la sociedad, algún bien. No hace mucho que milito en política , porque no quiero morir sin haber servido aunque sea de escudo , a mi querida patria. HLVS.

  3. Pascual dice

    Sólo de A puedo afirmar segunda en salto en alto.
    Única combinación para 4+3+1=8*5=40
    A=4+(3*5)+(3*1)=22 gana todos los segundos podios entonces gana el segundo de salto en alto
    B=(4*2)+1=9
    C=(4*2)+1=9

  4. Pascual dice

    Adrián si a y c Salen segundas, no puedo afirmar quién lo fue en Salto en alto.
    Sólo si una gana todos los segundos podios lo puedo hacer.
    La única combinación que hallé entonces es para 4+3+1= 8 * 5= 40
    A= 4+(3*5)+(1*3)=22
    B={4*2)+1=9
    C=(4*2)+1=9
    Sólo A ganó el segundo podio en salto en alto.
    Pascual.

  5. Fran dice

    Para los que plantearon la pregunta:
    A 1ra en 4, y 2da en 1
    B 1ra en 1, y 3ra en 4
    C 2da en 4, y 3ra en 1
    Pero B 1ra en 100 metros y por tanto 3ra en todas las demás pruebas, incluida salto.
    C tiene un tercer puesto y solo queda libre el de los 100 metros. Por tanto C 3ra en 100 metros y 2da en todos las demás pruebas, incluida salto en alto.
    A tiene un segundo puesto y solo queda libre el de 100 metros, En el resto fue 1ra, también en salto.
    Los resultados completos serian:
    100 metros : B A C
    Salto alto : A C B
    Prueba 3 : A C B
    Prueba 4 : A C B
    Prueba 5 : A C B
    Se pueden saber todos los resultados sin ni siquiera conocer los nombres de todas las pruebas !!!

  6. Marta Elena dice

    Paenza : por qué la respuesta es C? A también sacó un segundo puesto….
    Cierto que C salio 2da en cuatro competencias y tiene mas posibilidades…

    1. NoPaenza dice

      No soy Paenza, pero eso es porque A salió segunda en la competencia que ganó B. Fijate en la (poca) información que dieron y alcanza para saber que no es Salto en Alto.

    2. Lucas dice

      Porque A sacó un 2do puesto en LA ÚNICA PRUEBA en la que no ganó. O sea, en los 100 metros llanos que ganó B.
      En todas las otras pruebas ganó A.

  7. Mario Rodriguez dice

    Si estudiar y pensar es sinónimo de «rascarse las bolas» y le aconsejás que agarre el pico y la pala, estás sugiriendo que preferís a la gente inculta (mano de obra barata), a gente calificada y, por lo tanto más cara, para que trabaje para vos. ¡Te deschavaste solo, oligarca gorila!!!

    1. Ramon Ortega dice

      Mierda! pareces paenza de vivo! que analisis re complejo te mandastes Mario!

  8. Aristides Dasso dice

    ¿Cómo se deduce que C salió 2da. en el salto en alto y no fué A que también tuvo un 2do puesto?

  9. PABLO DAVID COVELLA dice

    Buenísimo….
    Confieso que no pude resolverlo sin dos ayudas fundamentales, que no se me habrían ocurrido nunca:
    Primera ayuda : considerar que la suma total de puntos es N * (x + y + z)
    Segunda ayuda: la idea de los distintos posibles productos de 2 factores con resultado = a 40.
    De ahi en más pude llegar a la solución.

    Gracias Adrián Paenza, no sólo por los problemas matemáticos… 🙂

  10. Fabian dice

    Ramon Ortega deje de tirar palitos por doquier que para censurar estan los especialistas con metodos mas duranbarbistas jaja

  11. Ramon Ortega dice

    Paenza, agarre el pico y la pala en el 2019. Dejese de boludeces y acertijos. 70 anios de rascarse las pelotas es mas que suficiente. Es hora de laburar!

    1. Santiago dice

      Ramon, con decir «no entiendo» alcanza, se lo volvemos a explicar. No hacía falta la declaración jurada de estupidez.

    2. Fabian dice

      Ramon Ortega deje de tirar palitos por doquier que para censurar estan los especialistas con metodos mas duranbarbistas jaja

    3. Mario Rodriguez dice

      Si estudiar y pensar es sinónimo de «rascarse las bolas» y le aconsejás que agarre el pico y la pala, estás sugiriendo que preferís a la gente inculta (mano de obra barata), a gente calificada y, por lo tanto más cara, para que trabaje para vos. ¡Te deschavaste solo, oligarca gorila!!!

    4. Matias dice

      Sin lugar para trolls aca

  12. Rodolfo dice

    Hola Adrian. Yo llegué a la misma pdppjdpta que vos, pero la solución no es unívoca. A también puede haber salido segunda en esa prueba porque tiene un segundo puesto.

  13. Pablo dice

    Estuvo muy bueno. Lo hice como pude…
    Se puede resolver si a los 22 puntos de A los dividimos sabiendo que B ganó una competencia (dato que nos permite establecer un límite a la cantidad de competencias)
    Si X = 9, B no podría haber participado en más de una competencia.
    Si X = 8, Y = 2, Z = 1, sólo podría haber había 2 competencias insuficientes para llegar al 22 de A.
    Si X = 7, Y = 2, Z = 1, podrían ser 4 competencias, pero B tendría más de 9 puntos (7 + 1 +1 +1 +1)
    Si X = 6, Y = 2, Z = 1, tendría que ser un mínimo de 5 competencias, y B se volvería a pasar (6 + 1 +1 +1+1)
    Si X = 5, Y = 2, Z = 1, tendría que ser un mínimo de 6 competencias, y B sí tendría 9 puntos (5+1+1+1+1), si calculamos el resto de los puntajes los números se corresponden.
    De ésto se deduce que:
    A 1ra en 4, y 2da en 1
    B 1ra en 1, y 3ra en 4
    C 2da en 4, y 3ra en 1

    1. Facundo dice

      Sí, todo bien, pero no entiendo por qué el segundo puesto en salto en alto no pudo ser de A.

  14. Carlos Dell dice

    Gracias Totales !!!

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