Mínimo y Máximo

Parece difícil, pero en una negociación todos podemos salir ganando

 

El que sigue es un problema precioso porque invita a reflexionar sobre una situación que podría suceder en la vida real, y de hecho, la (o lo) prepararía para pensar qué decisión tomar.

Por ejemplo, supongamos que uno está frente a un tablero (como si fuera de ajedrez), pero en lugar de ser de 8 x 8, preparemos uno más chico, de 5 x 5.

Lo que voy a hacer es distribuir los primeros 25 números en forma aleatoria. Es decir, el tablero podría ser este (pero tómelo como un ejemplo que elijo yo. usted prepárese el que quiera).

7 12 24 4 13
1 16 11 23 15
4 8 2 19 21
18 14 6 25 9
3 10 17 22 20

 

Como usted ve, yo puse los 25 primeros naturales de cualquier forma.

Le propongo que ahora iniciemos una suerte de juego. Usted mire la distribución de los números y elija una fila cualquiera. Yo voy a hacer lo mismo pero en lugar de una fila, voy a elegir una columna cualquiera.

Una vez que los dos tengamos hecha la elección, nos vamos a fijar en la ‘casilla’ que resulta de la intersección de la fila que usted eligió y la columna que elegí yo.

La idea es que yo le pague a usted el número que figura en esa ‘casilla’.

No hace falta que diga demasiado más: su idea es tratar de conseguir maximizar ese número (de manera tal que yo le pague la mayor cantidad de dinero posible) y a su vez, yo voy a tratar de hacer lo contrario: minimizar mis pérdidas. ¿Qué estrategia usar? Es decir, ¿cómo diseñar una estrategia que le permita a usted obtener el mayor beneficio y a mí, la menor pérdida?

Y acá es donde interviene (o debería intervenir) la matemática, aunque no lo piense en términos de ‘números’ (que sería y es lo más habitual dentro de la sociedad en la que vivimos), sino piense que la matemática será la que le dará una buena idea sobre qué tipo de estrategia deberíamos diseñar para tratar de mejorarnos las posibilidades de los dos. ¿Qué hacer? ¿Quiere pensar?

 

Algunas ideas

Como siempre, más allá de resolver este ejemplo en particular, la idea debería ser construir una estrategia que después sea extrapolable a casos generales, a casos en donde la grilla sea no solo de 5 x 5, sino de (n x n), para cualquier número n, e incluso preguntarse después si es necesario que sea una grilla cuadrada, y si pudiéramos ampliarla para grillas de la forma (n x m) donde n y m no tengan por qué ser el mismo número. Pero bueno, me adelanté.

Le propongo lo siguiente entonces. Usted elija de cada fila el número más chico. O sea, vaya recorriendo fila por fila y marque cuál es el menor de todos los números que allí figuran. Yo lo marco acá:

7 12 24 4 13
1 16 11 23 15
4 8 2 19 21
18 14 6 25 9
3 3 17 22 20

 

La lista entonces es: 4, 1, 2, 6 y 3. De estos cinco números, quedémonos con el más grande, o sea, con el 6, y lo voy a llamar X.

Este número X = 6, es el más grande de los más chicos de cada fila. Por otro lado, el 6 está ubicado en la fila 4. De esa forma usted se garantiza (si elige esa fila), que cualquiera sea la columna que yo vaya a elegir, como mínimo usted va a cobrar 6 (si no más, pero por lo menos 6). O sea, de todos los posibles números pequeños que hay en la grilla, usted se va a garantizar que recibirá el mayor de todos esos números si elige la fila 4.

Ahora me toca el turno a mí. Yo voy a tratar de hacer lo contrario. Voy a elegir de todas las columnas, el número más grande. Fíjese cómo queda el cuadrado ahora:

7 12 24 4 13
1 16 11 23 15
4 8 2 19 21
18 14 6 25 9
3 3 17 22 20

 

Yo quiero elegir Y, que será de los cinco números elegidos (18, 16, 24, 25 y 21), el más chico de ellos. En este caso, Y = 16, que es el número que aparece en la segunda columna. ¿Por qué? Cuando yo elija mi columna voy a elegir la segunda, porque no importará qué fila elija usted, yo como mucho voy a tener que pagarle 16 (independientemente de la fila que haya elegido). En algún sentido, estoy minimizando mi daño, y por otro lado, cuantificándolo. Pase lo que pase, elija lo que usted elija, yo sé que a lo sumo, voy a tener que pagarle 16. (Si no menos…)

Cuando llega el momento de tomar la decisión final, o sea, usted elige su fila (la número 4) y yo elijo mi columna (la número 2), nos fijamos… y el número que figura en la casilla que está en la ‘intersección’ de ambas es 14. Es decir, hemos descubierto que  X < Y.

Los dos nos quedamos contentos: usted consiguió que yo le pagara más que 6 (de hecho le tendré que pagar 14), y yo logré pagarle menos que 16. Naturalmente, la pregunta es: ¿será siempre verdad que X < Y?

En realidad, la respuesta es que sí, aunque podrían ser iguales en el caso extremo.

¿Cómo comprobarlo? ¿Quiere pensar usted?

Como idea, que creo es conductora a la respuesta, fíjese que para poder determinar X , lo que vamos haciendo es elegir primero un número de cada fila que sea el ¡más chico! El más pequeño de todos los números que figuran allí, en esa fila. Ahora piense que cada uno de esos cinco números es el más chico de esa fila y que cuando termine eligiendo X es porque de esos cinco, me quedé con el más grande. Sí, el más grande de los más chicos, y esa es una cualidad que nunca se pierde. Mientras tanto, yo voy eligiendo el más grande de cada columna, y en particular cada uno de esos numeritos que voy seleccionando no solo es el más grande de la columna, sino que como está en alguna de las filas en particular, es mayor que el numerito de esa fila que usted tuvo que considerar. Por ejemplo, si en la columna uno usted eligió un número cualquiera (digamos el 18 siguiendo el ejemplo anterior), es porque el 18 no solo es el mayor de la columna uno, sino que también pertenece a la cuarta fila. De esa cuarta fila, el número 18 ¡no puede ser el menor! (en particular, no puede ser el menor porque si no lo hubiera elegido usted mientras elegía números). Y como los números no aparecen repetidos, el 18 no puede ser el menor de la cuarta fila (y si usted mira, verá que lo que digo es cierto). Es decir, finalmente lo que sucede es que el 18 es mayor que el número que usted eligió de la cuarta fila (el 6).

Si me siguió con lo que escribí en este ejemplo particular (y le propondría que no avance si no puede usted generarse sus propios argumentos) verá que el resto es sencillo. Aún el más grande de los pequeños es inexorablemente menor que el más chico de los suyos… o sea, uno comprueba que X < Y, como queríamos ver.

Final

Supongo que a esta altura usted convendrá conmigo que si en lugar de haber sido un cuadrado de 5 x 5, yo hubiera elegido cualquier cuadrado de n x n, el argumento hubiera sido el mismo. Más aún: cuadrado o rectangular, volvería a suceder lo mismo. Y ese es el final.

4 Comentarios
  1. Alvaro Esteban Pedraza dice

    Excelente idea, la cosa se complica cuando una de las partes (o peor: ambas) pretenden obtener la mayor tajada A CUALQUIER COSTO y en vez de conformarse con cobrar 6 (o pagar 16) quieren cobrar 25 y pagar 1.
    Igualmente siempre es interesante analizar estos escenarios. Un placer leer este tipo de artículos

  2. Santiago Aon dice

    Adrián, buenísimo como de costumbre. Con toda la humildad del mundo, y sabiendo que es una observación menor que no hace a la cuestión, ya que se pudo entender a pesar de mi observación, fíjese que los números 3 y 4 figuran en su esquema duplicados y faltan los números 5 y 10.
    Ahora bien, volviendo a la línea de pensamiento, si yo sé que usted para elegir Y va a utilizar el mismo método que yo para elegir X entonces es probable que yo elija la 2da fila (y no la 4ta como convenimos en un principio), maximizando mi ganancia. Pero usted en ese caso probablemente elegiría la 1er columna, con lo cual me terminaría pagando 1, en vez de los 16 que uno esperaría cobrar simplemente por pretender adelantarse un paso al otro. En ese caso X > Y; aún así volviendo a aplicar el método, y en este caso en particular yo volvería a elegir la 4ta fila (dado que 18 es el mayor de los valores de la 1er columna), Y ahí es probable que usted elija la 3er columna, con lo cual terminaría cobrando los 6 originales… desde ya, me surge la pregunta si en disposiciones diferentes de los valores, para una tabla de estas características bastan 3 sucesiones del mismo proceso para alcanzar el X original al que uno apuntaba… Pero dada la hora, mejor será estudiarlo en la semana… Que tenga una muy buena, dicho sea de paso.

  3. María Dolores Costa dice

    Querido Adrián, siento que el universo me sonríe cuando lo leo.
    Hoy puedo aplicar esto a economía, a los monopolios o a las economías más desarrolladas en comparación con las emergentes.
    De paso, hacer eco e incluir la teoría económica de “la maldición de los recursos” y armar mi tablero con esos datos!
    Abrazo!

  4. Alicia dice

    Muy buenos estos desafíos matemáticos. Los disfruto enormemente.

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