Ping-Pong

 

El siguiente es un problema espectacular. Por si le queda alguna duda, lo voy a escribir de nuevo: es-pec-ta-cu-lar.

Todas las personas a las que se lo sugerí quedaron fascinadas. Aspiro a que a usted le pase lo mismo. Antes de avanzar, quiero contar cómo me enteré y a través de quiénes.

Carlos D’Andrea es doctor en matemática y profesor en la Universidad de Barcelona, en España. Sus aportes a la matemática lo transformaron en uno de los más importantes referentes contemporáneos entre los que nacieron en nuestro país. Carlos es correntino, se licenció y doctoró en la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA, sus estudios de posgrado los hizo en la prestigiosa Universidad de California [1], en Berkeley, y desde hace unos años es profesor en España. Pero además de hacer investigación en matemática pura y aplicada, Carlos ha sido jurado de centenares de pruebas de matemática a nivel mundial. Es un referente obligado en todo lo que tenga que ver con matemática recreativa y su pasión por acercar la matemática a múltiples generaciones de jóvenes de todo el mundo lo ubica en un lugar muy destacado.

Uno de sus colegas en Barcelona es el doctor Juan Carlos Naranjo. Más allá de las tareas específicas que desarrollan allá, están sistemáticamente a la búsqueda de problemas que sirvan para exhibir el poder de la matemática en todos los niveles. Y, por supuesto, cada vez que encuentran algo que valga la pena difundir, me lo hacen llegar para que yo lo distribuya.

Ahora sí, la historia prometida.

Marzo 17, 2015. Recibo este mail de Carlos que transcribo textualmente. Aquí figura el problema. Es mejor que usted lea la versión original:

“Otro problema MUY BONITO que quiero compartir contigo. Me lo contó Juan Carlos Naranjo ayer. Estoy seguro de que te va a gustar mucho. Aquí va: Tres amigos (digamos A, B y C) se pasan la tarde jugando al ping-pong con el método ‘el que pierde se va y entra a jugar el que está afuera’.

Al acabar la tarde, las cantidades de partidos que jugó cada uno fueron las siguientes:

A=10, B=15, C=17.

La pregunta es: ¿Quién perdió el segundo partido?”

Ahora sigo yo. Creo que se entiende bien el enunciado, pero me interesa enfatizar que para pensarlo (y resolverlo) no hace falta saber jugar al ping-pong. Sólo que se juega de a dos. Como son tres participantes, mientras dos juegan, el tercero... “mira”. El perdedor sale y le deja su lugar al participante que estaba afuera como observador. El ganador, sigue jugando.

Como escribió Carlos, al finalizar la tarde, más allá de quién ganó o perdió cada partido, contabilizaron cuántos partidos jugó cada uno, y éste fue el resumen:

A jugó 10 partidos
B jugó 15 partidos
C jugó 17 partidos.

La pregunta es: ¿quién perdió el segundo partido?

Parece rara la pregunta, ¿no es así? Me importa reflexionar un instante con usted. ¿No es notable que se pueda contestar esta pregunta?

Cuando yo lo leí por primera vez (y por segunda... y tercera... ) pensé que faltaban datos. ¿A usted no le pasa lo mismo?

Ahora sí... la/lo dejo a usted para que lo piense. Yo sigo abajo.

 

 

 

Respuesta

Esta es mi propuesta para resolver el problema. Quiero que usted y yo nos pongamos de acuerdo en un par de ideas.

Primero, ¿cuántos partidos se jugaron en total?

Uno podría pensar así: como A jugó 10, B jugó 15 y C jugó 17, si sumamos los tres números, el resultado es 42 partidos. Es decir, entre los tres jugaron 42 partidos. Pero, usted advierte que estoy contando dos veces cada partido, porque hacen falta dos jugadores para cada encuentro. Luego, el total de partidos jugados no es 42 sino la mitad: 21. Entonces se deduce que en total se jugaron 21 partidos.

Segundo, recuerdo acá las características que establecimos para este tipo de torneo: después de jugar cada partido, el ganador se queda para jugar el próximo, el perdedor sale y el que miraba entra a jugar.

Ahora, tome dos partidos consecutivos cualesquiera. Fíjese que cada uno de los tres (A, B y C) tuvieron que haber jugado por lo menos un partido.

Entonces, como se jugaron 21 en total, la menor cantidad de partidos que un participante pudo haber jugado es ¡diez!

No pudo jugar menos, ya que si no, los otros dos (B y C) deberían haber jugado los dos, dos partidos consecutivos, y eso no puede ser.

Por lo tanto, la secuencia de partidos tuvo que haber sido la siguiente:

X A X A X A X A X A X A X A X A X A X A X (*)

en donde estoy poniendo una letra ‘X’ para indicar que no sé si ese partido lo jugaron A o B, pero seguro que los partidos 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20 los tuvo que haber jugado A. Es que de acuerdo con los datos originales, A jugó nada más que 10 partidos. Entonces, los jugó y los perdió todos.

Y por eso, A entra, juega un partido, lo pierde y sale. Espera su turno otra vez: entra, lo juega, lo pierde y sale nuevamente. Y por eso la secuencia es la que escribí en (*).

Por lo tanto, ahora estamos en condiciones de responder la pregunta (usted también puede responder ahora, ¿no es así?): el jugador que perdió el segundo partido tuvo que haber sido A. Más aún: no solamente perdió el segundo partido, sino que perdió todos los partidos pares. Perdió los partidos 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20.

Es decir, yo podría haber preguntado: ¿quién perdió el sexto partido? ¿O el décimosegundo? Todos los partidos pares los perdió A. No se puede saber contra quién los perdió (si fue contra B o contra C) pero lo que es seguro es que el perdedor fue siempre A.

Final. ¿No es espectacular que uno pueda contestar esa pregunta cuando al principio parecía que no habría manera?

Quiero hacer una reflexión más: espero que usted se haya tomado un tiempo para pensarlo y ojalá que lo haya podido deducir sin leer lo que escribí yo. ¿Sabe por qué? Porque en el momento en el que uno advierte qué es lo que tiene que hacer, en el momento en que uno descubre que para que se cumplan los datos, el menor número de partidos que tuvo que haber jugado algún participante es 10, y que justamente ése es el dato que uno sabía sobre A... ese momento, ese particular momento, es cuando uno siente que tiene en sus manos un determinado poder.

Y de ese momento se trata: de ser capaz de pensar y advertir la potencia de nuestra capacidad reflexiva y deductiva. Solamente por eso es que valió la pena haber dedicado algún tiempo a pensar quién perdió el partido número dos de un torneo de ping-pong entre tres amigos.

 

 

[1] La Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA también es prestigiosa, y la directora de la tesis doctoral de Carlos fue Alicia Dickenstein, exvicepresidenta de la Unión Matemática Internacional. Me cuesta trabajo escribir que la Universidad de California en Berkeley es prestigiosa y, si bien desde el punto de vista de la lógica no dice nada sobre Exactas, parecería como que nuestra facultad no lo es, o que está en un lugar inferior, y no sólo no es cierto sino que Exactas UBA es un orgullo para todos los argentinos.

 

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