Polo Norte

De cómo alejarse para volver inexorablemente al punto original

 

Quiero plantear un problema muy interesante que quizás usted escuchó en algún momento de su vida. Pero junto con el planteo, me gustaría proponerle también una variante que no es ni tan conocida ni tan difundida. Me explico.

Para empezar, necesito que usted y yo nos pongamos de acuerdo en concedernos una licencia, y aceptar que la Tierra es una esfera perfecta. Obviamente, eso no es cierto, pero no afectará la esencia del problema propiamente dicho.

Ahora sí, pregunta:

“¿Existe algún punto de la Tierra en el cual uno se pueda parar, caminar un kilómetro hacia el sur, otro kilómetro hacia el este y luego un kilómetro hacia el norte y volver al lugar original?”

Si usted nunca había escuchado este planteo, es muy posible que crea que es imposible, pero si le dedica un rato, verá que no, que ese punto ¡existe!

Como yo voy a escribir la respuesta en el párrafo siguiente, si nunca pensó sobre este problema anteriormente, este es el momento justo para detener la lectura. En todo caso, vuelva una vez que le dedicó algún tiempo para pensar.

Sigo. Si usted conocía el problema, seguramente recuerda que ese punto es el Polo Norte. Si usted se sitúa allí y se dispone a caminar un kilómetro, vaya hacia donde vaya, elija la dirección que elija, inexorablemente está caminando hacia el sur. Después de recorrer un kilómetro, deténgase y camine ahora un kilómetro hacia el este. Cuando ya lleva recorrido dos kilómetros (uno hacia el sur, y otro hacia el este), párese nuevamente y ahora, camine hacia el norte un kilómetro.

¿A qué punto llega? Si se detiene un instante para pensar, verá que habrá retornado al punto de partida, o sea, usted retornó al Polo Norte nuevamente.

Es decir: el Polo Norte es UN punto que cumple con lo que pedía el problema.

Pero yo enfaticé la palabra “UN” en el párrafo precedente, porque en general, uno suele terminar el problema allí y creer que ese es el único punto que contesta la pregunta, el único que lo resuelve.

Sin embargo, eso no es cierto. Más aún: ¡hay infinitos puntos que uno puede encontrar y que cumplen con lo pedido! ¿Quiere pensar usted y ver si puede descubrir más?

Como siempre, le sugiero que no avance si no se concedió un mínimo tiempo para reflexionar. La única gracia que tiene este tipo de problemas, es dedicarle una/uno un cierto tiempo para pensarlos en soledad. Si no se le ocurre la respuesta, ¿qué problema hay? Tómese más tiempo, o retómelo en otra oportunidad, pero no lea la respuesta inmediatamente. Usted, ¿iría a ver una película de suspenso, pero permitiendo que en el cine estén las luces encendidas y viendo que en los títulos indican quién será el asesino? ¿Qué gracia tendría?

Bueno, sigo. Quiero proponerle una forma de encontrar más puntos que cumplan lo pedido, o sea, más puntos en la Tierra desde los cuales se puede empezar.

De entrada, me quiero poner de acuerdo con usted en algunos nombres. Si la Tierra es una esfera perfecta, entonces, cada círculo que uno pueda dibujar sobre ella que pase simultáneamente por el Polo Norte y el Polo Sur, se llama círculo máximo. ¿Cuántos de estos círculos hay? Como usted puede deducir, hay infinitos círculos máximos. ¿Por qué?

Le propongo que pensemos el problema así, usando este ‘modelo’: imagine a la Tierra como una pelotita de tenis. Consiga algunas ‘gomitas elásticas’ o ‘bandas elásticas’.

Sostenga la pelotita en una posición fija. Habrá un punto que será el equivalente del “Polo Norte” (que será el punto que está más arriba) y otro punto que será el equivalente del “Polo Sur” (el punto que está más abajo).

Cada vez que usted enrolla la pelotita con una de las ‘gomitas’, forzándola a que pase por el Polo Norte y el Polo Sur, usted estará describiendo un círculo máximo. De esta forma, se pueden conseguir infinitos círculos (siempre y cuando usted tuviera infinitas gomitas). Por otro lado, si usted mueve la pelotita de manera tal que arriba y abajo ahora queden dos puntos diferentes (que serán los nuevos polos, un nuevo Polo Norte y un nuevo Polo Sur), haciendo lo mismo que hicimos recién vamos a encontrar infinitos círculos máximos otra vez.

Espero haberla/o convencido de que efectivamente, uno puede dibujar en la superficie de la Tierra, infinitos círculos máximos. Si me siguió hasta acá, el círculo que llamamos Ecuador, que divide la Tierra en dos hemisferios (el norte y el sur), es también un círculo máximo.

Dicho todo esto, quiero avanzar con el problema propiamente dicho. Hagamos así: usted, párese en el Polo Sur. Si usted empieza a caminar en cualquier dirección, estará yendo hacia el norte, no importa qué dirección eligió. Es que estando en el Polo Sur, si uno camina arriba de la Tierra, vaya donde vaya, siempre está yendo hacia el norte. Los círculos que se llaman paralelos, se llaman así porque son paralelos al Ecuador. Justamente, si uno empezó en el Polo Sur y camina hacia el norte, los paralelos que pasan por el punto que usted está parado, son cada vez de mayor longitud. Obviamente, el Ecuador es el más largo de todos los paralelos.

Ahora, como le decía, empiece en el Polo Sur. Camine hacia el norte hasta encontrar un paralelo que mida un kilómetro. Es decir, si usted diera una vuelta a la Tierra caminando por encima de ese paralelo habrá recorrido en total un kilómetro.

Una vez que llegó a ese paralelo, a cualquier punto de ese paralelo, camine un kilómetro hacia el norte. Pare allí. Ese es el punto que estamos buscando.

¿Por qué?

Comprobémoslo. Empiece allí. Haga un kilómetro hacia el sur. Seguro que cae en un punto del paralelo que medía un kilómetro si uno diera toda una vuelta. ¿Se acuerda? Por lo tanto, cuando usted tenga que caminar un kilómetro hacia el este, lo que habrá hecho es haber dado una vuelta completa y caer en el mismo lugar. Luego, desde allí, cuando vuelve a caminar hacia el norte un kilómetro, aparece en el lugar de partida.

Aquí, una pausa. Sin estar presente junto a usted, sin hacer ningún dibujo, sin tener una pelotita de tenis y ‘gomitas’, es mucho más complicado convencerse. No me crea simplemente porque lo escribí yo o porque una persona cualquiera se lo dice. ¡Convénzase usted, haciendo usted lo necesario hasta estar segura/seguro que comprendió por qué.  Lo que demuestra esto es que hay infinitas soluciones al problema original.

Y esto no es todo. Se pueden encontrar muchos más, infinitos puntos más. Para eso, le propongo un camino para pensar. Para encontrar la solución que escribí más arriba, había que encontrar un paralelo que midiera un kilómetro de longitud. Esto permitía que cuando uno caminaba hacia el este un kilómetro, terminaba dando una vuelta entera y quedaba en el mismo lugar.

Bueno, tengo una pregunta para usted: ¿Y qué pasaría si, saliendo del Polo Sur, en lugar de haber encontrado un paralelo que midiera un kilómetro encontráramos un paralelo que midiera medio kilómetro? Aquí, pausa para pensar.

Sigo: la respuesta es que, haciendo lo mismo que en el caso anterior, al caer en ese paralelo y caminar un kilómetro uno terminaría dando dos vueltas alrededor de la Tierra y volvería al punto inicial, y de aquí, camina un kilómetro hacia el norte y vuelve al punto original de partida.

Como usted advierte, este proceso puede seguirse indefinidamente. Yo podría encontrar paralelos que tengan un longitud de 1/3 de kilómetro y dar tres vueltas, o ¼ de kilómetro y dar cuatro vueltas, etc, etc…

Moraleja: un problema que parecía tener una solución ÚNICA, en realidad, ¡tiene infinitas!

Y aunque parezca que no, esto es hacer matemática también.

 

 

 

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2 Comentarios
  1. Alejandra dice

    Ahhh, la exquisitez de la geometría de la esfera…pensar, pensar, pensar es ejercicio saludable que trae muchos beneficios: resolver problemas de forma autónoma y no dejarse engañar taaaan facilmente

  2. Guido dice

    Excelente.

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