Problemas irresueltos (I): Collatz

Si resuelve alguno de estos problemas, se convertirá ipso facto en una luminaria de la matemática

 

Como se puede imaginar, si yo tuviera (o pretendiera) escribir una lista de todos los problemas irresueltos en matemática, me podría pasar la vida (no solo la mía sino también la suya y la de todo el resto de la humanidad) y no terminaría. Es que mientras yo escribo y usted lee, hay científicos que van contestando preguntas, pero por cada respuesta, por cada problema que parece ‘cerrarse’, se abren múltiples más de los que –quizás— no teníamos idea.

Por supuesto, no se me escapa que no todos los problemas tienen las mismas relevancia ni importancia. De hecho, hay problemas que llevan muchísimos años desde que fueron planteados, y tienen el atractivo ‘extra’, de que mucha gente muy famosa (dentro de la matemática), matemáticos relevantes que han intentado y no pudieron contestar la pregunta. Pero, por otro lado, no interprete que estoy diciéndole a usted, sí, a usted, que no lo intente, porque lo más posible es que algunos de estos problemas sean abordados y/o resueltos por personas que tengan la ‘temeridad’ de atacarlos con ingenuidad y de esa forma, en lugar de encontrarse con los caminos ‘sin salida’ que encontraron otros, terminarán haciendo algún aporte totalmente diferente, que no se le había ocurrido a nadie, y esa misma ingenuidad (si es que puedo seguir usando esa palabra) será determinante para encontrar la respuesta.

Una breve digresión. En Estados Unidos, en un lugar virtualmente perdido en el mapa, ‘allá arriba’ en el noreste, en una ciudad pequeña (Peterborough), en New Hampshire, un Estado muy pequeño (en población y superficie), allí se encuentra ubicada una institución sin fines de lucro pero que ha tomado una trascendencia mundial por razones que paso a explicar. Justamente en Peterborough está ubicado el Clay Mathematical Institute [1] (el Instituto de Matemática Clay). A comienzos de este siglo (XXI), el instituto planteó una lista con siete problemas, que es conocida con el nombre de “Los Problemas del Milenio” (“Millenium Problems”).

La institución —fundada hace casi 23 años (en 1998)— se compromete a entregar un millón de dólares a cualquier persona que pueda resolver alguno de los problemas. Así nomás. De todas formas, me quiero apurar a escribir lo siguiente: si bien resulta obvia la implicancia económica del premio, más allá de eso, el prestigio que le traería al autor, lo ubicaría –casi instantáneamente— en el panteón de los matemáticos más sobresalientes de la historia. Por lo tanto, si bien la compensación monetaria es obviamente no menor, desde el punto de vista del respeto que ganaría en la historia de esta ciencia es ciertamente inigualable.

Un aspecto interesante es que salvo uno de los problemas, son todos muy difíciles de enunciar (y por lo tanto comprender) para una persona que sea no matemática. Más aún: estoy convencido de que aún matemáticos profesionales, cuyas especialidades no son compatibles con cada problema, tendrían dificultades en comprender siquiera ‘cuál es el problema’ o ‘qué es lo que hay que demostrar y/o resolver’.

Quiero volver al principio, y no referirme a problemas de esas características, sino presentar otros que son un poco más pedestres, pero le cuento: el hecho de que sean más accesibles para comprenderlos o entender qué es lo que hay que resolver, no los hace menos difíciles (ni más fáciles). Mi idea es compartir con usted un poco de lo que sucede en un mundo que quizás le queda más alejado de su vida cotidiana. Creo que vale la pena leer e informarse sobre lo que pasa “dentro de la matemática”.

Una última cosa: aunque quizás usted (y ciertamente yo) no somos médicos, todos sabemos las dificultades que hay para encontrar soluciones a cierto tipo de cánceres, o con enfermedades autoinmunes, o con el Alzheimer o Parkinson, etc, etc… Y sin ir muy lejos, fíjese lo su que sucedió con la pandemia que estamos viviendo.

De todas formas, nos es más fácil relacionarnos con ese tipo de problemas ‘irresueltos’ que con los que hay en la matemática. Mi objetivo acá entonces es poner en relieve lo que sucede con otra ciencia y que a la mayoría de la población o de las sociedades en todo el mundo les resulta totalmente transparente.

Ahora sí, después de esta introducción voy a escribir alguno de ellos, los más conocidos pero de los que no se conoce la solución. Al mismo tiempo, como yo los puedo entender, estoy seguro de que usted también podrá.

Finalmente, es una selección totalmente anárquica, sin que haya relación en el grado de dificultad que tiene cada uno, y ni siquiera hay relación histórica o de tiempo que media entre que fue propuesto por primera vez y el día de hoy, cuando usted está leyendo y/o el día que yo lo estoy escribiendo (enero del 2021). Ah, y la lista no pretende ser exhaustiva aún dentro de la categoría de problemas más conocidos, sino que son problemas que yo creo que tienen algún atractivo para mí y que desde ese lugar los quiero compartir. Me entretuve haciendo un rastrillaje gruesoy ojalá que usted los disfrute al leerlos (y eventualmente pensarlosun rato), tanto como a mí escribirlos. Acá voy.

 

El Problema de Collatz

El primer problema tiene varios nombres. En principio, fue propuesto en el año 1937 por Lothar Collatz, pero en el camino, en más de 80 años se lo reconoce como: a) El Problema (o Algoritmo) de Syracuse; b) El Algoritmo de Hasse; c) El Problema de Kakutani; d) El Problema de Ulam. Y voy a parar agregando uno más: “El Problema de (3n+1)”.  Y me detengo acá, porque en el último nombre se divulga una parte del problema. Acompáñeme por acá y verá que es muy sencillo de entender.

Tome una lapicera y un papel y vamos a generar algunos números entre los dos. Claro, como yo no estoy allí con usted, usted preparará su lista y yo voy a hacer la mía, pero verá que en algún momento –estoy casi seguro— vamos a llegar al mismo resultado. Le cuento qué es lo que tenemos que hacer.

Elija un número natural cualquiera (1, 2, 3, 4, 5…, 70, 71…) es decir, un número entero positivo cualquiera. Yo voy a elegir el número 46. Usted elija el que quiera y hagamos juntos las cuentas (usted las suyas, pero le propongo que también siga las mías). Si el número que usted eligió es un número par, entonces divídalo por dos. Como yo elegí el número 46, que es par, al dividirlo por 2 obtengo el número 23. Empiezo a anotar la lista de números que voy a ir generando yo. Por ahora tengo:

46, 23,

Si el número obtenido (en mi caso 23) fuera par, haría lo mismo: volvería a dividirlo por dos. Pero no lo es. Entonces, lo que uno hace ahora es… ¡multiplicarlo por 3 y sumarle uno! Es decir, como 23 es impar, lo multiplico por 3 (y obtengo 69) y le sumo uno. Resultado: 70. Mientras tanto, a usted ¿qué le pasó? Yo, agrego el número 70 a los que ya tenía:

46, 23, 70,

Ahora el número que uno obtiene con este procedimiento (multiplicándolo por 3 y sumándole uno) me permite afirmar que uno llega a un número par (verifíquelo usted). Llegado a este punto, ahora podemos dividir por dos (como al principio). Al dividir 70 por dos, obtenemos 35. La lista ahora es:

46, 23, 70, 35,

Una vez más, como no es par, lo tengo que multiplicar por 3 y sumarle uno. Resultado: (35×3 = 105), y luego 105 + 1 = 106, lo cual implica que mi lista ahora es:

46, 23, 70, 35, 106,

Y sigo: divido 106 por 2, y se tiene 53. La lista es:

46, 23, 70, 35, 106, 53,

Y voy a seguir haciendo las mismas cuentas: dividiendo por dos cuando obtenga uno par, y multiplicándolo por 3 y sumándole uno cuando resulte impar. Acá escribo mi lista y le propondría, una vez más, que usted escriba la suya:

46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Y acá, al llegar al número ‘1’, voy a parar. ¿Qué le pasó a usted?

Por un instante, voy a escribir algunas listas más. Es decir, la que yo obtuve surgió porque el número inicial que escribí fue el 46, y como usted ve, en un número de pasos finito, llegué al número 1. Estoy tentado de asegurar, que independientemente de cuál fuera el número con el que empezó usted, su lista también llegó al número ‘1’. ¿Es así?

Solo para que no quede reducida al número 46, que fue el que yo elegí originalmente, agrego acá cinco listas más, empezando con cinco números diferentes:

a) 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

b) 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

c) 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

d) 51, 154, 77, 232, 116, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

e) 111, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

¿Quiere revisarlas? ¿Hay algo que le resulte sospechoso? O mejor dicho, ¿alguna alternativa saliente? Fíjese que las cinco listas terminaron en uno. ¿Por qué? ¿Tiene sentido seguir? ¿Qué pasaría si uno intenta continuar?

Si uno llega a 1, el próximo número es 4 (ya que (3×1 + 1) = 4, después, me quedo con la mitad y obtengo el número 2, y después, divido por 2 otra vez (porque 2 es par) y llegamos al número 1 otra vez. O sea, si uno llega hasta el número 1, ya sabe que entrará en una suerte de ciclo y no sale más de él, no aparece ningún número nuevo (salvo el 4, el 2 y el 1). ¿Entonces?

Bueno, justamente… ESTA es la GRAN pregunta que termina siendo la ‘conjetura de Collatz’. El dijo que no importa con qué número uno empiece, al final, llevará mucho tiempo o poco, aparecerán muchos números o pocos números, pero al final…. ¡uno siempre llega al número uno!

Antes de terminar, una curiosidad: empiece usted con el número 27 y verá qué pasa. Sí, al final va a llegar al número uno, pero en el camino, tendrá que utilizar 111 pasos… sí, ¡ciento once pasos! 

Las computadoras han permitido avanzar muchísimo y se sabe que el resultado es cierto para números enormes [2]pero, no importa lo que las computadoras digan y cuán grande sean los números iniciales. Lo que aún no se sabe es que el resultado es siempre cierto, independientemente de cómo uno empiece. Listo. Ese es el primer problema cuya solución no se conoce… ¡aún!

La semana que viene les presentaré otro problema irresuelto.

 

 

 


[1] http://www.claymath.org/ . Esta es la página official del Clay Mathematical Institute y los problemas los puede encontrar acá: http://www.claymath.org/millennium-problems
 
[2] Si le interesa el tema, en Wikipedia hay muchísimo para leer y por donde avanzar. El enlace lo puede encontrar acá: https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
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