Seis problemas breves

Para entretenerse en el ascensor, en una sala de espera, en el subte o esperando en un semáforo

Los que siguen son problemas breves para entretenerse en el ascensor, en una sala de espera, en el tren, subte o esperando en un semáforo.

1) Usted invitó a un grupo de amigos a su casa para celebrar su cumpleaños. En total (incluyéndolo a usted), son 12 personas. Para cenar preparó siete pizzas grandes. Naturalmente usted querría que todo el mundo comiera el mismo número de porciones. ¿Cómo hacer? Por supuesto, uno podría cortar cada pizza en 12 (doce) y entonces, a cada uno de sus amigos le tocaría una de las miniporciones en cada pizza. Pero este método es impráctico. (¿Se imagina cortando cada pizza en 12?) ¿Se le ocurre alguna otra solución?

2) Usted se encuentra con dos personas, sabiendo que son siempre consistentes en sus respuestas: o bien dicen siempre la verdad o siempre mienten. Puede que ambos sean mentirosos, o que ambos sean siempre sinceros, o incluso que uno mienta y uno diga siempre la verdad. Se establece entonces el siguiente diálogo con uno de ellos: ‘Ustedes dos, ¿son sinceros o mentirosos?’, y recibe esta respuesta: ‘Al menos uno de nosotros es mentiroso”. Preguntas: la persona con la que usted habló, ¿es sincera o mentirosa? Y la otra con la que no habló, ?miente o dice siempre la verdad?

3) Usted llega a una cena en un restaurant en donde habrá (en total) cinco personas sentadas en una mesa circular. A usted le interesa mucho poder conversar e interactuar con una de las personas presentes. ¿Qué es más probable que suceda: que al sentarse le toque estar a uno de sus lados o no?

4) Una bebida gaseosa hace una promoción con sus ‘tapitas’, y deciden pintarlas de cuatro colores: rojo, amarillo, verde y azul. Para poder acceder a participar en la premiación, es necesario juntar o bien cuatro tapitas del mismo color, o cuatro tapitas de los cuatro colores diferentes. Si uno tiene suerte, puede que comprando cuatro gaseosas sea suficiente: o consigue las cuatro iguales o las cuatro distintas. Pero esto es poco probable que suceda. La pregunta es: en el peor de los casos, ¿cuántas gaseosas tiene que comprar para estar seguro que puede aspirar al premio?

5) Uno tiene cuatro dados convencionales, como cuando se juega a la ‘generala’, pero en lugar de ser cinco se tienen nada más que cuatro. Los pone en un cubilete y luego de batirlo, arroja los dados en la mesa. ¿Qué es más probable que suceda: que alguno de los dados muestre un seis o que no?

6) Piense la solución de este problema sencillo: “El precio de un traje y una camisa fue de 1.100 pesos. Si el traje cuesta 1.000 pesos más que la camisa, ¿cuál es el precio de la camisa?”

 

Respuesta al problema 1

Lo que uno puede hacer es cortar tres de las pizzas en cuatro porciones iguales y las otras cuatro pizzas en tres porciones iguales. (O sea,  acá tiene que aparecer tres pizzas cortadas en cuatro partes formando ángulos de 90 grados, y cuatro pizzas cortadas en tres partes, formando ángulos de 120 grados.)

Hecho esto, cada uno de sus amigos come una de las porciones de las tres pizzas cortadas en cuatro, y una de las porciones de las cuatro pizzas cortadas en tres. En consecuencia, todos comen la misma cantidad de pizza.

 

Respuesta al problema 2

El que habló con usted pudo haber dicho algo cierto o falso. Analicemos cada situación. Si la persona con la que usted habló fuera mentiroso, sería mentira entonces que al menos uno de los dos es mentiroso. ¿Qué quiere decir esto? Si es mentira que ninguno de los dos es mentiroso es porque los dos dicen la verdad. Pero si así fuera, el que habló estaría diciendo una mentira. Luego, como el que habló no puede decir simultáneamente algo que sea verdad mentira, la persona que habló con usted tiene que haber dicho la verdad. En consecuencia, la frase que dijo (‘al menos uno de nosotros es mentiroso’) es verdadera, y como él no lo es, entonces la otra persona es mentirosa. Y esa es la respuesta: el que habló con usted dice siempre la verdad y el otro, es mentiroso.

 

Respuesta al problema 3

La probabilidad es la misma, ya que una vez que la persona con la que usted querría poder conversar ocupa un lugar cualquiera en la mesa redonda, a su lado tendrá dos sillas, y alejadas, otras dos. Luego, o bien usted ocupará una de esas dos sillas, o bien alguna de las otras dos. En cualquier caso, si la distribución es al azar, tendrá tantas posibilidades de estar sentado junto a esta persona como alejado de ella.

 

Respuesta al problema 4

Por supuesto que uno no puede comprar menos de cuatro gaseosas, porque si no, no hay manera de tener ni cuatro distintas ni cuatro iguales. Pero ciertamente cinco no son suficientes, porque usted podría tener dos de un color y tres de otro. Y lo mismo sucede con seis, siete, ocho e incluso nueve. Es que con nueve podría darse el caso en que usted tuviera tres de cada uno de tres diferentes colores. Sin embargo, esto sugiere la respuesta final (¿no lo quiere pensar usted?). Con diez tapitas, si no hay cuatro de un mismo color, el mayor número que puede haber de cada una es tres. Pero teniendo tres de cada uno de tres colores, suman nueve tapitas. La décima, está forzada a ser, o bien de un color distinto a los tres que usted ya tiene en la mano (con lo cual tendría cuatro tapitas de cuatro colores distintos), o debería repetir uno de los tres colores que ya tiene (en cuyo caso, tendría cuatro tapitas de ese color). Moraleja: hacen falta diez tapitas.

 

Respuesta al problema 5

Contemos (usted y yo) los casos posibles. Es decir, cuando uno arroja los cuatro dados, ¿cuántos resultados posibles hay? En cada dado puede aparecer cualquiera de los seis números (del as al seis). Y como cada dado es independiente de los otros, hay en total 64 = 1.296 posibilidades. Veamos cuántas de estas tiradas NO contienen un seis. Ahora, lo que uno hace es permitir que el dado recorra los números del as hasta el cinco. Otra vez, como los cuatro dados son independientes, uno deduce que hay 54 = 625 formas que puedan aparecer en la mesa, pero ahora, ninguno de ellos es un número seis. Luego, del total (1.296) hay un poco menos de la mitad (625) que no contienen un seis. O sea, como la mitad de 1.296 es 648, se deduce que más de la mitad (1296 – 625 = 671) contienen un seis y menos de la mitad, 625 , no contienen ningún seis.

 

Respuesta al problema 6

El traje cuesta $1.050 y la camisa cuesta $50. En total, $1.100 y el traje cuesta exactamente $1.000 más que la camisa (como decía el problema). Una observación: dejé este problema para el final porque con él me sucedió algo realmente increíble: absolutamente ¡todas las personas que conozco (y me incluyo, porque yo me conozco) cometimos el mismo error! La tentación de creer que es un problema tan fácil hace suponer que la solución es: ‘El traje cuesta $1.000 y la camisa cuesta $100’. Pero esta respuesta es equivocada, porque el problema dice claramente que el traje “cuesta mil pesos más que la camisa”, y si la camisa costara $100 entonces el traje tendría que costar $1.100, y en ese caso, el precio de los dos objetos sería de $1.200 y no $1.100 como indica el problema. ¿Notable, no?

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1 comentario
  1. Augusto Parma dice

    Fabuloso Adrián.

    Al problema 1 lo resolví cortando 6 pizzas en 8 porciones (48 en total, 4 para cada comensal) y la restante en 12 (una para cada uno).

    Problema 2: no lo pude resolve

    Problema 3: lo resolví mal, razoné que las probabilidades eran 3 sobre 5 (o sea, mi lugar más los dos a mi lado = 3) MAL

    Problema 4: Lo resolví mal: 13 tapitas

    Problema 5: lo resolví mal, deduje que la probabilidad para cada dado de que salga un seis, era 1/6 = 0,16666. Multiplicada esa cifra por 4 (número de dados) me dio 0,666 de probabilidades.

    Problema 6: Si bien me percaté de que el costo del traje no podía ser $1000, me parecía que el problema podía tener varias soluciones. Pero como usted explica maestro $1050 el traje y $50 la camisa es la unica solución al planteo del problema. Sorprendente.

    Aclaro que me llevé matemáticas de Primero a quinto año.

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