La Conjetura de Goldbach

Ciertas ideas suenan brillantes, pero son (casi) imposibles de demostrar

 

¿Cuántas veces se le ocurrió una idea, pero dudó si era cierta o no? ¿Cuánto tiempo la estuvo pensando? Hay algo maravilloso que resulta de poder “entretener” en la cabeza algún problema cuya solución es incierta. Uno le da vueltas y vueltas, lo ‘camina’ por alrededor, lo mira desde distintos ángulos. Duda. Empieza de nuevo. Se enoja con él. Lo abandona con el objetivo de reencontrarlo más tarde. Es una experiencia fascinante. Y muchas veces también es frustrante.

En la historia de la ciencia, de las distintas ciencias, hay una amplia variedad de situaciones como las que expuse en el párrafo anterior. En algunos casos, los problemas planteados pudieron ser resueltos en forma sencilla. En otros, las soluciones fueron mucho más difíciles y hay ejemplos de problemas que llevaron siglos hasta ser desentrañados.

Supongo que a esta altura usted imagina hacia dónde voy: quedan muchísimos ejemplos, no sólo sin solución, sino en los que uno no sabe siquiera si la tal solución existe. Es decir, situaciones en las que uno no sabe si la conjetura que uno tiene entre manos es cierta o falsa.

Hay gente que ha dedicado la vida a pensar que cierto problema tenía solución, pero no la pudo encontrar. Y otros muchos que pensaron que esa misma conjetura era falsa, pero tampoco pudieron encontrar un contraejemplo para exhibir.

En el caso de la medicina, es muy fácil de imaginar. Así como le sucedió en algún momento a Alexander Fleming con el descubrimiento de la penicilina o a Jonas Edward Salk o a Albert Sabin con las vacunas antipolio: la magnitud de los descubrimientos les trajo prestigio, fama y, eventualmente, dinero. En las ciencias duras, si bien los ejemplos abundan, salvo casos puntuales como el de Albert Einstein, el prestigio no es tan evidente para el ciudadano común, como usted o como yo. Son más difíciles de percibir.

De todas formas, llegué hasta acá pero aún no exhibí el ejemplo al cual me quiero referir: “La Conjetura de Goldbach”.

Estoy casi seguro de que usted nunca escuchó hablar de ella y por eso quiero dedicarle un artículo específico en un lugar impensado: El Cohete a la Luna.

El 7 de junio de 1742 (piensen que ya pasaron casi 278 años), Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard Euler (uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos), sugiriéndole que pensara una demostración para la siguiente afirmación porque a él no se le ocurría:

“Todo número par positivo, mayor que dos, se puede escribir como la suma de dos números primos”.

 

 

Christian Goldbach.

 

Por las dudas, y para no quitarle la oportunidad de pensar el problema, escribo un breve párrafo con un ‘ayuda memoria’:

¿Qué es un número primo?

Es aquel número que solamente es divisible por sí mismo y por uno.

Por ejemplo, 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos. Pero 6 y 15 no lo son. El número 6 no es primo, porque es divisible por 2 y por 3. Por otro lado, el número 15 tampoco es primoporque es divisible por 3 y por 5 (además de por 1 y por 15).

Una última observación: al número uno (1) no se considera un número primo.

Pero volviendo a Goldbach, veamos algunos ejemplos donde es muy fácil comprobar que la conjetura es cierta.

1) El número 4 se puede escribir como la suma de 2 más 2. O sea, 4 = 2 + 2. La conjetura se verifica porque 4 es un número par, y 2 es un número primo.

2) El número 6 se puede escribir como la suma de 3 más 3. O sea, 6 = 3 + 3. La conjetura se verifica también, porque 6 es un número par, y 3 es un número primo.

3) ¿Qué sucede con el siguiente número par? Me refiero al 8. En este caso, uno tiene la tentación de escribir al número 8 así: 8 = 4 + 4. Sin embargo, el número 4 no es un número primo (ya que es divisible por 2). Pero, el número 8 se puede escribir como: 8 = 3 + 5. Ahora sí, como tanto 3 como 5 son números primos, entonces, la conjetura sigue siendo válida en el caso del 8. Sigo.

4) El próximo par es el número 10. Creo que usted advierte lo que sucede: 10 = 5 + 5, y  la conjetura es válida también, porque 5 es primo.

5) 12 = 5 + 7, y todo sigue bien porque tanto el 5 como el 7 son números primos.

6) 14 = 7 + 7

7) 16 = 5 + 11

8) 18 = 7 + 11

9) 20 = 7 + 13

10) 22 = 11 + 11

11) 24 = 11 + 13 = 7 + 17 (en este caso, hay dos formas diferentes de escribir al número 24 como suma de dos números primos).

12) 26 = 13 + 13

13) 28 = 11 + 17 = 5 + 23 (otra vez hay dos formas de escribir al 28 como suma de dos primos).

14) 30 = 13 + 17

15) 32 = 3 + 29 = 13 + 19 (una vez más, aparece un número par —el 32— que se puede escribir como suma de dos números primos en forma diferente).

Le propongo que siga usted con la lista, hasta que se aburra. Por ejemplo, más adelante aparecen estos casos:

1) 864 = 431 + 433

2) 866 = 3 + 863

3) 868 = 5 + 863

4) 870 = 7 + 863…………

Y así podría seguir.

Con todo, usted advierte que el hecho de que la conjetura sea válida en los casos que escribí más arriba, no garantiza que esto siempre vaya a sucederEs decir: ¿cómo sabemos que no habrá algún ejemplo ‘más adelante’ donde aparezca algún número par que no se pueda escribir como la suma de dos números primos? Evidentemente, los ejemplos que escribí hasta acá parecerían indicar que esto va a suceder siempre, pero eso no es un argumento válido. Uno no puede concluir que, porque algo sucedió hasta un determinado punto, entonces sucederá siempre.

Cuando Euler recibió la carta de Goldbach no le prestó demasiada atención. Intentó con los primeros casos y advirtió (como hicimos nosotros más arriba) que el resultado parecía ser cierto. Se propuso pensar en alguna forma de demostrar que eso debía suceder siempre, pero no tuvo éxito. Lo interesante es que Euler le escribió a Goldbach que le parecía un problema sencillo pero que él no tenía tiempo para dedicarle.

El caso es que, sencillo o no, pasaron casi dos siglos y medio y el problema no ha tenido solución. La conjetura que atormentó a Goldbach todavía no ha podido ser demostrada en su forma más general. En este tiempo, más de dos siglos y medio, hubo mucha gente que le dedicó una buena parte de su vida a resolverla, pero no ha tenido éxito. Y también hay muchísima otra gente que ha intentado probar que es falsa. ¿Qué querría decir «demostrar que es falsa»? Bueno, si alguien afirma que la conjetura no es cierta, tiene que proveer un ejemplo de un número par que no se pueda escribir como suma de dos números primos.

Hasta aquí, año 2020, tal ejemplo no fue encontrado, pero tampoco nadie encontró la demostración de que siempre es cierta y por lo tanto, queda aún con el nombre que lleva desde su comienzo: una conjetura.

La novela Uncle Petros & Goldbach’s Conjecture [1], del escritor de origen australiano y criado en Grecia, Apostolos Doxiadis –publicada en 1992 en griego y traducida a diversos idiomas en el año 2000– es la que promovió que las compañías editoras Faber y Faber de Gran Bretaña y Bloomsbury Publishing de Estados Unidos ofrecieran un millón de dólares a quien pudiera resolverla. El premio se lo podía llevar cualquier persona que ofreciera una demostración durante los años 2000 y 2002. Nadie la encontró. Pero tampoco nadie encontró que fuera falsa.

Doxiadis es también reconocido como uno de los iniciadores de las novelas con “trama matemática” y, además, ha dirigido varias obras de teatro así como algunas películas.

Pero lo que importa en este caso es que la popularidad alcanzada por la novela devino en la oferta de los editores, que al día de hoy nadie pudo reclamar. ¿Será acaso el turno de alguno de los lectores de El Cohete a la Luna?

Así como desde 1742 hasta hoy nadie pudo resolver el problema, tampoco nadie pudo demostrar que fuera falso. En 1855 se sabía que los primeros 10.000 números la cumplían y en 1940 se llegó a los 100.000.

Hasta hoy (enero del 2020), se sabe que la conjetura es cierta para todos los números pares que sean menores que 4 x 1013, o sea menores que ¡un número 4 seguido de trece ceros!

De todas formas, por más que las computadoras sean cada vez más rápidas, nunca llegarán a probarlo para todos los números. Para ello, se necesita una prueba abstracta, un teorema o si usted prefiere, una teoría matemática que sea capaz de demostrar que Goldbach, profesor de matemática en San Petersburgo, tenía razón.

El desafío que presentó en su momento la empresa Faber fue un intento de conseguir la mayor publicidad posible para ese libro: El tío Petros y la Conjetura de Goldbach.

Igualmente, yo perdería las esperanzas: se calcula que en todo el mundo hay sólo 20 personas que podrían resolver esta conjetura. Me queda extremadamente claro que el que escribe estas líneas no es uno de esos 20, pero nadie dice que no pueda ser usted, lector de El Cohete a la Luna. ¿Cómo saberlo sin siquiera intentarlo?

Para terminar, quiero dejar planteada otra conjetura también sugerida por Goldbach, conocida con el nombre de “La Conjetura Impar de Goldbach”.

Esta segunda conjetura dice que todo número impar mayor que cinco se escribe como la suma de tres números primos. Al día de hoy también permanece como un problema abierto de la matemática, aunque se sabe que es cierta para números impares de hasta siete millones de dígitos.

Si bien toda conjetura puede resultar falsa, la opinión educada de los expertos en teoría de números es que lo que pensó Goldbach es cierto y sólo es una cuestión de tiempo hasta que aparezca la demostración.

Ahora, como siempre, le toca a usted.

 

 

 

[1] Uncle Petros & Goldbach’s Conjecture se traduce como El Tío Petros y la Conjetura de Goldbach.

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13 Comentarios
  1. Oscar dice

    Y 36?

  2. Andres dice

    Si a cualquier número par, se le resta 3, da como resultado un número primo, que sumado a tres da, el número par inicial, por ende se cumpliría siempre lo de lxs primillos, cueck

  3. Andoni Echevarría Anuncibay dice

    Se ha demostrado ya que cuanto más grande sea el número par, más son las combinaciones De números primos que dan ese número. Hice la prueba con una hoja Excel y puse hasta 1000 números primos quitando el dos pues solo sirve para 2+2, y compare con todos los pares y efectivamente cuando más alto era el número primo más combinaciones había, también me di cuenta que los pares múltiplos de 30 tenían muchas más combinaciones que los otros y muchas más cosas que no me caben aquí. Pero esto ya hay muchos matemáticos que lo han visto, https://ztfnews.eus/2017/01/03/la-conjetura-de-goldbach/, mirar la COMETA DE GOLBACH, como evoluciona. Un saludo desde Euskadi, eres un guía Adrián Paenza, gracias.

  4. Nicolás dice

    Fantástico, como siempre!!! El siglo XVIII es una caja de maravillas inagotable, que merece ser revuelta sin importar el ámbito del conocimiento que más nos atraiga. Muchas gracias Adrián, nunca dejes de enseñarnos.

    1. Andres dice

      Si a cualquier número par, se le resta 3, da como resultado un número primo, que sumado a tres da, el número par inicial, por ende se cumpliría siempre lo de lxs primillos, cueck

      1. Oscar dice

        Y 36?

        1. korsakov dice

          36 =17+19

  5. Guillermo Valera dice

    Así es, la Conjetura Débil de Goldbach, la conjetura impar, fue demostrada en 2013 por Harald Helfgott.

    https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_d%C3%A9bil_de_Goldbach

    1. Lilian dice

      Si claro, la llamada conjetura debil de Goldbach fue demostrada por un investigador peruano

  6. Eduardo dice

    Si «el gato» se pone a pensar, te las resuelve en dos minutos. ¡El gran problema es cómo hacer para que se ponga a pensar!

  7. Ruben Pesoa dice

    Similar al Teorema de Fermat, este tipo de problemas son faros en un horizonte oscuro que mantienen a la inteligencia humana con la profunda y constante curiosidad de comprender a la naturaleza. Errando más que acertando, con cientos o miles de días de vida de diferentes personas dedicadas a un papel y lápiz.

    En mí caso tengo una obsesión con los números primos, los uso para todo, en serio, hasta para las contraseñas de cualquier cuenta personal. Desde ya, me faltan las avanzadas herramientas (y quizás un poco de la potencia mental) de cualquier matemático que se encuentre trabajando tanto para el CONICET como en Princeton. Dedicado a otra profesión (ingeniería) puedo acercarme a los problemas matematicos con cierta modestia, pero quedo generalmente fuera de competencia ante la facilidad de algunos para avanzar tan solo un milímetro hacía adelante, ya que lo mío es meramente una pasión de aficionado en el que apenas tengo noción de dónde estoy parado dentro del problema.

    De todas formas y tal como lo dice el autor de esta nota, ojalá algunos de los lectores sea uno de los 20. Solo falta un poco de curiosidad, tiempo, lápiz y papel. Para cerrar mí opinión, rescato una frase de Voltaire: no existe problema que resista el ataque sostenido del pensamiento.

    Saludos a todos y feliz día a los padres.

  8. Santiago A dice

    Se me ocurre preguntar qué importancia tiene demostrar la conjetura de Goldbach. Que aspecto de la vida humana mejoraría si se probara la hipótesis del matemático prusiano. ¿Cuál sería su consecuencia? ¿O solamente es acaso un sofisticado pasatiempo?

  9. Santiago dice

    Tenia entendido que una de las dos habia sido demostrada hace en 2014 por un matematico peruano formado en gran bretaña, pero tampoco estoy tan al corriente.
    Estas conjeturas develan todo el realismo magico detras de los numeros.

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