¿Cómo elegir la mejor oferta?

A veces hay que desconfiar de la intuición, dice la matemática

 

El siguiente artículo contiene una afirmación que es totalmente anti-intuitiva. Me costó mucho trabajo (cuando lo leí por primera vez hace muchos años) aceptar que atentará contra la intuición, pero sin embargo, es correcta.

Voy a poner un ejemplo, pero usted verá que se puede aplicar a múltiples situaciones de la vida cotidiana. Acá voy.

Es viernes. Usted acaba de comprar una casa y necesita el dinero para el lunes siguiente (tres días después). El problema es que usted ha tratado de vender la suya por mucho tiempo y lo hizo sin intermediarios. Puso un aviso en el diario y luego de haber escuchado y analizado todas las ofertas, redujo todo a dos posibles candidatos (a los que voy a identificar como A y B).

El señor A le dijo que le haría una oferta el día sábado y el señor B haría su oferta final el día domingo. Usted ya investigó que ambos son personas serias y siempre han cumplido con sus compromisos verbales. Además, ambos tienen los fondos suficientes como para poder concretar la operación.

El problema es que ninguno de los dos puede esperar. El señor A hará su ofrecimiento el sábado y quiere tener la respuesta el mismo día. Y el señor B lo mismo, pero el día domingo.

Como usted no sabe qué va a ofrecer cada uno, está dudando sobre qué hacer. ¿Le conviene aceptar directamente la oferta de A el día sábado y ya no tener su casa disponible para siquiera escucharlo a B? ¿O le conviene escuchar la oferta de A y contestar que no hasta saber qué ofrece B? Claro que esta posibilidad conlleva un riesgo (obvio): si B ofrece menos que A, usted ya perdió la oportunidad de volver atrás.

Este problema invita a reflexionar también sobre su (sí, usted) nivel de tolerancia y frustración. ¿Qué pasaría si usted eligió A y B estaba dispuesto a ofrecerle algo mejor? ¿Y si fuera al revés? ¿Si usted desechó la oferta de A y la de B termina siendo menor?

Como se advierte, más allá del caso particular de una casa, este problema o este dilema, refleja lo que nos suele pasar muchas veces en la vida cotidiana. Uno está ‘forzado’ a tomar una decisión sin conocer todos los datos. ¿Qué hacer? En todo caso, si fuera usted quien tiene que decidir… ¿qué haría?

Como es fácil detectar (hasta acá), con lo que uno sabe, no tiene más remedio que elegir basado en el ‘gusto’, en ‘una corazonada’; uno está eligiendo ‘al azar’. Al hacerlo, tiene 50% de posibilidades de elegir la oferta más conveniente.

Puesto de otra forma, la probabilidad de elegir la oferta más alta, es  ½ , como si estuviera ‘arrojando una moneda al aire y esperara que el resultado lo favorezca’.

Los trabajos que voy a usar como referencias son los que publicaron dos matemáticos: uno es el belga F. Thomas Bruss, de la Universidad Libre de Bruselas (Université Libre de Bruxelles) y, el otro, el norteamericano Thomas Cover de la Universidad de Stanford. A ellos les corresponde todo el crédito de este artículo.

Justamente acá quiero escribir lo que aprendí leyendo los trabajos de ellos. Aunque parezca poco creíble, esa probabilidad (½) ¡se puede mejorar! Es posible elaborar una estrategia que permite mejorar el 50% de posibilidades si uno estuviera en la situación que describí más arriba. Parece imposible, pero sin embargo… créame que no. Acompáñeme por acá.

Para hacer más fácil la lectura, voy a reducir el ejemplo a un caso con dos números cualesquiera: A y B (que son los equivalentes de las ofertas que harán los señores A y B el sábado y domingo respectivamente). Voy a modelar el problema, como si cada uno de los dos (A y B) hubiera escrito su oferta en un papel, pero usted no las puede ver.

Acá es donde aparece una novedad: lo que usted tiene que hacer es elegir (mentalmente) un número cualquiera Z. Lo ideal sería que este número Z sea un número que esté ‘entre A y B’, es decir, mayor que uno y menor que el otro.

Obviamente, no hay manera de saber —hasta acá— si el número que usted eligió cumple (o no) con lo que usted pretendía hacer, pero lo que voy a hacer es convencerla/o de que si usted lograra encontrar un número que está entre los dos, entonces su probabilidad de elegir la mejor oferta es mayor (o igual) que ½. ¿Cómo hacer?

 

Estrategia

Supongamos que usted eligió el número Z y tiene delante suyo el papel en donde está escrito el número A. Lo da vuelta. Pueden suceder dos cosas:

Si A es mayor que Z, usted se queda con la oferta de A.

Si Z es mayor que A, usted se queda con la oferta de B.

Como se ‘ve’, la estrategia es muy sencilla. Ahora bien: lo que queda por comprobar o demostrar es que esta idea tan sencilla verdaderamente sirve para mejorar el 50%de posibilidades que había originalmente. ¿Por qué las mejoró?

Primero voy a ofrecer un ejemplo y le propondría que usted misma/o se proponga pensar otros, para no resolver únicamente los que escriba yo.

En cualquier caso, más abajo escribí la demostración más rigurosa de que la afirmación es cierta. Mientras tanto, quiero exhibir —con un ejemplo— por qué mejora las chances de un 50% si uno elige cualquiera de las dos como si tirara una moneda al aire.

Supongamos que A = 70 y B = 90 . Claro, usted no lo sabe, porque no puede ver los números que figuran en los papeles (así como no podría conocer las ofertas que van a hacer por su casa).

El número Z que usted eligió puede cumplir una de estas tres posibilidades:

  1. Z es menor o igual que 70,
  2. Z es mayor o igual que 90, o bien
  3. Z es mayor que 70 pero menor que 90.

Ahora, analicemos juntos qué sucede en cada caso. Para eso, voy a darle a Z tres posibles valores:

  1. Z = 60
  2. Z = 100
  3. Z = 80

(Son los tres ejemplos posibles en donde el número Z es menor que los dos, mayor que los dos o está ‘entre’ los dos).

Apliquemos la estrategia que describí más arriba.

En el caso (1), cuando Z = 60, nos quedamos con A, ya que A = 70.

Al hacerlo, uno pierde la oportunidad de elegir la oferta mayor, que hubiera sido 90.

En el caso (2), cuando Z = 100, como Z es mayor que A (porque 100 es mayor que 70), entonces uno elige 90 (y se queda con la mejor oferta)

Por último, analicemos el caso (3) cuando el número Z que uno eligió está entre A B.

En esta situación, A = 70,  Z = 80 y B = 90. ¿Qué hay que hacer? Como el número Z (80) es mayor que A (70), uno se queda con B, que es 90….¡y de esta forma se queda con la oferta mayor!

Le propongo entonces que compruebe lo siguiente: cada vez que el número Z está entre A y B, ¡usted siempre se quedará con la mejor oferta, la mayor!   

Por supuesto, esto no demuestra que es mejor utilizar este método que elegir al azar (ver nota adjunta)pero sí da una idea de lo que conviene hacer.

Cuando usted tenga que optar entre dos ofertas que aún no tiene, trate de imaginar un número que usted supone que va a estar en el medio entre las dos. Si lo lograra, usted tiene garantizado que siempre elegirá la más conveniente.

En todo caso, la matemática ayuda a mejorar lo que la intuición dicta. Es decir, uno elegiría de acuerdo con la impresión que uno tiene en el momento, una ‘corazonada’, o directamente el azar. Y lo que parecía/parece inalcanzable (darse a uno mismo una chance mayor al 50%), sin embargo, es posible.

 

Nota Adjunta

Si uno no tiene ninguna estrategia, la probabilidad de elegir la mejor de las dos ofertas es ½ . Lo que sigue, es la demostración de que la estrategia descripta mejora esas chances.

Tome los dos números A y B. Supongamos que son distintos. Al menor de los dos lo llamo m, y el mayor M. Ahora, uno elige Z. ¿Qué posibilidades hay para Z? Si anotara los tres números es una ‘recta’, podrían quedar en una de estas tres posiciones:

a)——–m——–M——Z——–

b)——–Z———m—–M——–

c)——–m——–Z——M——–

Inevitablemente entonces, tiene que darse alguna de ellas.

Le recuerdo lo que dice la estrategia: de vuelta el número  A.

1)    Si A es mayor que Z, entonces quédese con A.

2)    Si Z es mayor que A, entonces quédese con B. Así de fácil.

Ahora, analicemos cada uno de los tres casos y veamos qué sucede:

En el caso (a), como el Z que usted eligió (sin saber, por supuesto), es mayor que el máximo entre A y B, en particular, Z es mayor que A. Entonces, usted se quedará con B.

En el caso (b), como el Z que usted eligió es menor que el mínimo entre A y B, en particular, A será mayor que Z. Entonces usted se quedará con A.

En cualquiera de estas dos situaciones (tanto (a) como (b)), usted elige uno u otro, pero no sabe cuál de los dos es el mayor, y por lo tanto, sería como haber tirado una moneda, y la probabilidad es ½ (o lo que es lo mismo, sus chances son un 50%).

Sin embargo, fíjese lo que sucede en el caso (c) en donde usted eligió un número que está entre el mínimo y el máximo.

Hay dos posibilidades: o bien A es mayor que B, o bien A es menor que B.

Si A es mayor que B, entonces el mínimo (entre A y B) es B. Luego, el Z que usted eligió es mayor que B pero menor que A. La estrategia dice que si el Z que usted elige es menor que A ¡usted elige A! Por lo tanto, se queda con la MAYOR de las dos ofertas.

Si A es menor que B, entonces el mínimo (entre A y B) es A. Luego, el Z que usted eligió es mayor que A. La estrategia le dice que elija ¡B! Y justamente B es la más grande de las dos ofertas otra vez.

En cualquiera de los dos casos (sea A menor que B o A mayor que B), usted termina eligiendo la mejor oferta…. Y eso es lo que buscábamos.

Los casos (a) y (b) terminan ofreciéndole un 50% de posibilidades de elegir la mejor oferta y por lo tanto, no mejora el azar.

En cambio, en el caso (c), usted gana seguro porque elige la mayor de los dos ofertas, y eso era lo que buscábamos.

 

Apéndice 1

Para los más interesados (y usando un poco más de matemática):

Si llamamos a, b y c  a las respectivas probabilidades, se obtiene:

Por un lado,  a + b + c =  1 (porque alguno de los casos tiene que suceder)

Por otro lado, voy a llamar w a la probabilidad de que usted gane. ¿Cómo se calcula esa probabilidad? Se calcula así:

w =  a/2 + b/2 + c

en donde:

a = probabilidad de que el número Z sea menor que los dos números A y B

b = probabilidad de que el número Z sea mayor que los dos números A y B

c = probabilidad de que el número Z esté entre los dos (A y B)

Por un lado, es claro que a + b + c = 1 (porque alguno de los tres casos tiene que suceder)

Por otro lado, en los casos (a) y (b) uno tiene la mitad de las posibilidades de ‘acertar’ dependiendo si A es mayor que B o al revés. Por eso, la probabilidad es la mitad en cada caso. Sin embargo, en el caso (c) uno gana seguro, porque elige siempre el mayor de los dos números.

w =  a/2 + b/2 + c   =  (a + b + c)/2 + c/2 = ½ + c/2,

y esto muestra que la probabilidad w es entonces mayor que ½ (ya que no importa cuánto sea el número c, es siempre mayor que cero) [1].

 

Apéndice 2

Tengo una explicación “heurística” de que se puede mejorar la probabilidad, sin necesidad de dar una versión ‘tan matemática’.

Si el número Z que elegí es menor que el mínimo o mayor que el máximo de las dos ofertas, la probabilidad no altera: sigue siendo ½ .

En cambio, si el número Z que yo elijo está entre los dos, esta estrategia permite que yo me quede con la mejor oferta de las dos.

¿En cuánto mejora mi probabilidad? Es decir, ¿en cuánto mejoré el 50% de chances que tenía originalmente?

Fíjese que eso va a depender de cuán bien (o mal) yo elija el número Z.

Yo llamé a la probabilidad de que seleccione un ‘buen número Z’. Ahora bien: usted tiene todo el derecho de preguntarme: “¿Qué quiere decir ‘elegir un buen número Z?”

Si yo soy lo suficientemente hábil para imaginar cuáles podrían ser las dos ofertas, entonces puedo elegir un número Z que justo esté entre estos dos números. La probabilidad de que yo haya acertado se puede medir; digamos que la llamé c.

Justamente, yo mejoro mis chances de quedarme con la mejor de las dos ofertas, que a priori es de ½, en ese ‘numerito’ c. Ahora, esa probabilidad es

(½ + c).

 ¡Y listo!

 

 

 

 

1)    F. Thomas Bruss, Unerwartete Strategien, Mitteilungern der Deutschen Mathematikervereinigung, Heft 3, 6-8- (1998)

2)    F. Thomas Bruss, Der Ungewissheit ein Schnippchen schlagen, Spektrum der Wissenschaft, Juni Heft, 106-107, (2000)

3)    Thomas M Cover, Problem 2.5: Pick the largest number. In Open Problems in Communication and Computation, Springer Verlag, New York (1987).

4)    F. Thomas Bruss, Playing a Trick on Uncertainty, Université Libre de Bruxelles.

 

 

[1] La probabilidad es mayor que cero, siempre y cuando las dos ofertas (A y B) sean distintas. Si son iguales, entonces c = 0 y por lo tanto, da lo mismo que usted elija cualquiera de las dos ofertas.

 

 

 

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